Zadanie 87

Rozwiązujemy nierówność:
$(x+1)^2 \gt 2(x-1)$.

1) Rozwińmy lewą stronę nierówności:
$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
Nierówność przyjmuje postać:
$x^2 + 2x + 1 \gt 2(x-1)$.

2) Rozwińmy prawą stronę:
$2(x-1) = 2x - 2$.
Mamy więc:
$x^2 + 2x + 1 \gt 2x - 2$.

3) Przenieśmy wszystko na lewą stronę nierówności:
$x^2 + 2x + 1 - 2x + 2 \gt 0$.
Uprasczamy wyrażenie:
$x^2 + (2x - 2x) + (1 + 2) \gt 0$
$x^2 + 3 \gt 0$.

4) Analiza otrzymanej nierówności
Wyrażenie $x^2$ jest zawsze większe lub równe $0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Dodając $3$, otrzymujemy:
$x^2 + 3 \ge 3 \gt 0$.
Oznacza to, że nierówność $x^2 + 3 \gt 0$ jest spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$.

5) Zapis zbioru rozwiązań
Nierówność $(x+1)^2 \gt 2(x-1)$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.

Odpowiedź:
Zbiorem rozwiązań jest $x \in \mathbb{R}$.