Zadanie 88

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach:
$a - 20,\quad a - 3,\quad a - 2$.
Mamy wyznaczyć wartość $a$.

Krok 1. Warunek dodatniości boków
Najkrótszy bok to $a - 20$, więc musi być dodatni:
$a - 20 > 0 \Rightarrow a > 20$.
Z tego wynika też porządek boków:
$a - 2 > a - 3 > a - 20$,
czyli najdłuższy bok to $a - 2$, więc jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.

Krok 2. Zapis twierdzenia Pitagorasa
Dla trójkąta prostokątnego z przeciwprostokątną $a - 2$ mamy:
$$(a - 2)^2 = (a - 3)^2 + (a - 20)^2.$$
Krok 3. Rozwinięcie kwadratów
Lewą stronę:
$(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4$.
Prawą stronę:
$(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$,
$(a - 20)^2 = a^2 - 40a + 400$.
Czyli:
$(a - 3)^2 + (a - 20)^2 = (a^2 - 6a + 9) + (a^2 - 40a + 400)$
$= 2a^2 - 46a + 409$.

Równanie przyjmuje postać:
$$a^2 - 4a + 4 = 2a^2 - 46a + 409.$$
Krok 4. Sprowadzenie do równania kwadratowego
Przenosimy wszystko na jedną stronę, np. na prawą:
$0 = 2a^2 - 46a + 409 - (a^2 - 4a + 4)$
$0 = 2a^2 - 46a + 409 - a^2 + 4a - 4$
$0 = a^2 - 42a + 405$.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:
$$a^2 - 42a + 405 = 0.$$
Krok 5. Rozwiązanie równania kwadratowego
Możemy spróbować rozłożyć trójmian na iloczyn:
Szukamy liczb, których suma to $42$, a iloczyn $405$.
$405 = 15 \cdot 27$ i $15 + 27 = 42$.
Zatem:
$a^2 - 42a + 405 = (a - 15)(a - 27) = 0$.
Stąd:
$a - 15 = 0 \Rightarrow a = 15$,
$a - 27 = 0 \Rightarrow a = 27$.

Krok 6. Sprawdzenie warunków na boki trójkąta
Przypominamy: musi być $a > 20$.

Dla $a = 15$:
$a - 20 = -5$ (bok ujemny → niemożliwe),
więc $a = 15$ odrzucamy.

Dla $a = 27$:
$a - 20 = 7$,
$a - 3 = 24$,
$a - 2 = 25$.
Wszystkie boki są dodatnie. Sprawdźmy jeszcze Pitagorasa:
$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$,
czyli rzeczywiście powstaje trójkąt prostokątny.

Odpowiedź:
$a = 27$.