Zadanie 90

Dane są długości boków czworokąta:
$|AB| = 2,\quad |BC| = 3,\quad |CD| = 4,\quad |DA| = 5$.
Na czworokącie opisano okrąg, czyli czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg (czworokąt wpisany w okrąg – czworokąt cykliczny).
Mamy obliczyć długość przekątnej $AC$.

Krok 1. Pole czworokąta z wzoru Brahmagupty
Dla czworokąta wpisanego w okrąg o bokach $a,b,c,d$ pole wyraża się wzorem Brahmagupty:
$$P = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},$$ gdzie $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ jest połową obwodu.
U nas:
$a = 2,\ b = 3,\ c = 4,\ d = 5$.
Połowa obwodu:
$s = \dfrac{2+3+4+5}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$.
Zatem:
$P = \sqrt{(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)} = \sqrt{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}.$
To jest pole całego czworokąta $ABCD$.

Krok 2. Oznaczenie przekątnej i rozcięcie czworokąta na dwa trójkąty
Oznaczmy długość przekątnej $AC$ przez $x$:
$$|AC| = x.$$
Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty:
– trójkąt $ABC$ o bokach $2, 3, x$,
– trójkąt $ADC$ o bokach $5, 4, x$.
Pole czworokąta jest sumą pól tych trójkątów:
$$P = P_{ABC} + P_{ADC}.$$

Krok 3. Wzór na pole trójkąta z trzech boków
Dla trójkąta o bokach $p, q, x$ pole można zapisać (z Herona lub z sinusa) w postaci:
$$P = \frac{1}{4}\sqrt{4p^2q^2 - (p^2 + q^2 - x^2)^2}.$$ Skorzystamy z tego wzoru osobno dla trójkątów $ABC$ i $ADC$.

Krok 4. Pole trójkąta $ABC$ (boki $2, 3, x$)
Dla $p = 2$, $q = 3$:
$$P_{ABC} = \frac{1}{4}\sqrt{4\cdot 2^2 \cdot 3^2 - (2^2 + 3^2 - x^2)^2}.$$ Obliczamy krok po kroku:
$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$, więc:
$4\cdot 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144$,
$(2^2 + 3^2 - x^2)^2 = (13 - x^2)^2 = x^4 - 26x^2 + 169$.
Zatem:
$$4\cdot 2^2 \cdot 3^2 - (2^2 + 3^2 - x^2)^2 = 144 - (x^4 - 26x^2 + 169) = -x^4 + 26x^2 - 25.$$ Czyli:
$$P_{ABC} = \frac{1}{4}\sqrt{-x^4 + 26x^2 - 25}.$$

Krok 5. Pole trójkąta $ADC$ (boki $5, 4, x$)
Dla $p = 5$, $q = 4$:
$$P_{ADC} = \frac{1}{4}\sqrt{4\cdot 5^2 \cdot 4^2 - (5^2 + 4^2 - x^2)^2}.$$ Obliczamy:
$5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$,
$4\cdot 5^2 \cdot 4^2 = 4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600$,
$(5^2 + 4^2 - x^2)^2 = (41 - x^2)^2 = x^4 - 82x^2 + 1681$.
Zatem:
$$4\cdot 5^2 \cdot 4^2 - (5^2 + 4^2 - x^2)^2 = 1600 - (x^4 - 82x^2 + 1681) = -x^4 + 82x^2 - 81.$$ Czyli:
$$P_{ADC} = \frac{1}{4}\sqrt{-x^4 + 82x^2 - 81}.$$

Krok 6. Równanie z pola czworokąta
Z jednej strony wiemy, że:
$$P = 2\sqrt{30}.$$ Z drugiej strony:
$$P = P_{ABC} + P_{ADC} = \frac{1}{4}\sqrt{-x^4 + 26x^2 - 25} + \frac{1}{4}\sqrt{-x^4 + 82x^2 - 81}.$$ Mnożąc obie strony przez $4$, dostajemy równanie:
$$\sqrt{-x^4 + 26x^2 - 25} + \sqrt{-x^4 + 82x^2 - 81} = 8\sqrt{30}.$$

Krok 7. Usuwanie pierwiastków (zarys rachunków)
Teraz postępujemy standardowo przy równaniach z dwoma pierwiastkami:
1) Przenosimy jeden pierwiastek na drugą stronę i podnosimy do kwadratu.
2) Porządkujemy wyrażenie, zostaje jeden pierwiastek.
3) Znów przenosimy i podnosimy do kwadratu.
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie wielomianowe w $x^2$, które sprowadza się do:
$$(13x^2 - 253)^2 = 0.$$ Stąd:
$$13x^2 - 253 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{253}{13}.$$ Ponieważ $x$ jest długością przekątnej, bierzemy tylko dodatni pierwiastek:
$$x = \sqrt{\frac{253}{13}}.$$

Krok 8. Odpowiedź
Długość przekątnej $AC$ wynosi:
$$|AC| = \sqrt{\frac{253}{13}}.$$