Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym wszystkie krawędzie są tej samej długości.
Oznacza to, że:
– krawędzie podstawy (bok sześciokąta) mają długość $a$,
– krawędzie boczne (wysokość graniastosłupa) też mają długość $a$.
Szukamy $a$, skoro wiadomo, że najdłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $20$.
Krok 1. Najdłuższa przekątna podstawy sześciokąta
Podstawa jest foremnym sześciokątem o boku $a$.
W takim sześciokącie:
- każdy bok ma długość $a$,
- przekątna łącząca przeciwległe wierzchołki (oddalone o trzy boki) ma długość równą $2a$ – jest to średnica okręgu opisanego na sześciokącie.
Zatem najdłuższy odcinek w podstawie ma długość:
$$d_{\text{podst}} = 2a.$$
Krok 2. Najdłuższa przekątna graniastosłupa
Graniastosłup jest prosty, więc krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy i mają długość $a$.
Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek z jednej podstawy z
najdalszym wierzchołkiem z drugiej podstawy.
W takim przypadku:
- rzut tej przekątnej na płaszczyznę podstawy ma długość $2a$ (przekątna przeciwległych wierzchołków sześciokąta),
- różnica wysokości między podstawami to $a$.
Powstaje trójkąt prostokątny, w którym:
- jedna przyprostokątna ma długość $2a$,
- druga przyprostokątna – $a$,
- przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną.
Zatem długość najdłuższej przekątnej wynosi:
$$d = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}.$$
Krok 3. Wykorzystanie danych z zadania
Z treści wiemy, że najdłuższa przekątna ma długość $20$, więc:
$$a\sqrt{5} = 20.$$
Dzielimy obie strony przez $\sqrt{5}$:
$$a = \frac{20}{\sqrt{5}}.$$
Usuwamy niewymierność z mianownika:
$$a = \frac{20}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}.$$
Odpowiedź:
Wszystkie krawędzie graniastosłupa mają długość $4\sqrt{5}$.