Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Jeśli mamy dane dwa różne punkty na płaszczyźnie A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂), możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty.

Szukana prosta przechodzi przez punkt A₁(x₁, y₁), więc jej równanie można napisać w postaci
y - y₁ = m(x - x₁) ,

Ponieważ punkt A₂(x₂, y₂) leży na szukanej prostej, więc musi być spełniona równość

y₂ - y₁ = m(x₂ - x₁) .

Przypadek 1. Niech x₁ ≠ x₂

Punkty A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂) nie leżą na prostej równoległej do osi OY. Wówczas mamy
$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ,
skąd po podstawieniu do równania y - y₁ = m(x - x₁) współczynnika kierunkowego otrzymujemy
$y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})$ ,
lub, gdy y₁ ≠ y₂
$\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .
Jest to szukane równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Przypadek 2. Niech x₁ = x₂

Punkty A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂) leżą na prostej równoległej do osi OY. Wówczas równanie tej prostej ma postać
x - y₁ = 0 .

Oba przypadki pierwszy i drugi można połączyć w jednym wzorze
(y₂ - y₁)(x - x₁) - (x₂ - x₁)(y - y₁) = 0 .