Zbiór zadań. Rozwiązanie zadania

Zbiór zadań, (zadania ciekawe)

Zadanie 6

Zadanie Newtona
W ciągu czterech tygodni 12 krów zjada trawę z łąki o powierzchni $3 \frac{1}{3}$ jugiera. Zakładamy, że w ciągu tego całego czasu trawa jednostajnie rośnie. W ciągu dziewięciu tygodni 21 krów zjada trawę z łąki o powierzchni 10 jugierów. Ile krów zje trawę z łąki o powierzchni 24 jugierów w ciągu 18 tygodni?

Rozwiązanie

Niech x oznacza ilość trawy na powierzchni jednego jugiera, a y niech oznacza ilość przyrostu nowej trawy na powierzchni jednego jugiera w ciągu jednego tygodnia. Wówczas na powierzchni $3 \frac{1}{3}$ jugiera znajduje się $\frac{10}{3} x$ trawy, a wciągu czterech tygodni na tym pastwisku przyrasta $4 \cdot \frac{10}{3} \cdot y$ trawy. Z tego wynika, że jedna krowa w ciągu tygodnia zje $\frac{4 \cdot \frac{10}{3} y + \frac{10}{3} x}{4 \cdot 12}$ trawy.
Z drugiej strony ilość trawy na łące o powierzchni 10 jugierów równa jest 10x, a w ciągu 9 tygodni na łące przyrasta 90y trawy. Jedna krowa w ciągu tygodnia więc zjada $\frac{90 y + 10 x}{9 \cdot 21}$ trawy.
Otrzymujemy równanie $\frac{\frac{40}{3} y + \frac{10}{3} x}{4 \cdot 12} = \frac{90 y + 10 x}{9 \cdot 21}$
Stąd 9 · 21 · $\frac{10}{3}$ (4y + x) = 4 ·12 · 10(9y + x).
Otrzymujemy x = 12y
Jedna krowa w ciągu tygodnia zjada $\frac{10}{9} y$ trawy.
Ilość trawy na 24 jugierach równa jest 24x = 24 · 12 · y.
W ciągu 18 tygodni na tej łące przyrasta 24 · 18 · y trawy. Łączna ilość trawy, która ma wystarczyć na 18 tygodni równa jest 24 · 12 · y + 24 · 18 · y = 24 · 30 · y.
W ciągu 18 tygodni jedna krowa zjada $\frac{10}{9} y$ · 18 = 20y trawy.
Trawy wystarczy zatem dla $\frac{24 \cdot 30 y}{20 y} = 36$ krów.

powrót do zbioru zadań | wersja do druku << poprzednie zadanie następne zadanie >>