logowanie

Twierdzenia z teorii granic funkcji

Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego
Na to, aby funkcja f miała skończoną granicę g w punkcie x₀ potrzeba i wystarcza, aby dla każdej liczby ε > 0 istniała liczba δ > 0 o tej własności, że jeżeli tylko argumenty x₁ i x₂ funkcji f spełniają nierówności
                 |x₁ - x₀| < δ i |x₂ - x₀| < ε,
gdzie x₁ ≠ x₀, x₂ ≠ x₀, to jest spełniona również nierówność
                 |f(x₁) - f(x₂)| < ε.

Jeżeli ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\infty }$ i ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=b}$ to:
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\right(x)+g(x\left)\right)=\infty }$,
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\right(x\left)g\right(x\left)\right)=\mathrm{ą\infty }}$ dla b ≠ 0,
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\mathrm{ą\infty }}$ dla b ≠ 0,
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=0}$.

Jeżeli ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\infty }$ i ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\infty }$ to:
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\right(x)+g(x\left)\right)=\infty }$,
${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\right(x\left)g\right(x\left)\right)=\infty }$.

Jeżeli funkcje f, g i h są określone w tym samym zbiorze X oraz:
   -    ${\displaystyle \underset{x\in X}{\forall }f\left(x\right)\le g\left(x\right)\le h\left(x\right)}$,
   -    ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }h\left(x\right)=b}$,
   -   x₀ jest punktem skupienia zbioru X,
to ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=b}$.

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej
Jeżeli
   -    ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=a}$,
   -    ${\displaystyle \underset{\epsilon >0}{\forall }\underset{x\in S(x_0,\epsilon )}{\forall }y=f\left(x\right)\ne a}$,
   -    ${\displaystyle \underset{y\to a}{\lim }g\left(y\right)=b}$,
to ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(f\right(x\left)\right)=\underset{y\to y_0}{\lim }g\left(y\right)=b}$,

© 2023 math.edu.pl      kontakt