logowanie

matematyka » algebra » algebra zbiorów

Algebra zbiorów

Jednym z podstawowych pojęć matematycznych jest pojęcie zbioru i należenie do zbioru. Zamiast zbiór mówimy też mnogość. Dział matematyki, którego zadaniem jest badanie ogólnych własności zbiorów nazywa się teorią mnogości. Pojęcia zbioru nie definiuje się w teorii mnogości, traktując je jako pojęcie pierwotne.

Przedmioty, które należą do danego zbioru, nazywamy jego elementami. Zdanie orzekające, że element $a$ należy do zbioru $A$ zapisujemy w sposób następujący $a \in A$. Jeśli chcemy zaznaczyć, że element $a$ nie należy do zbioru $A$, zapisujemy $a \notin A$. Zbiory przyjęło się oznaczać wielkimi literami: $A, B, \ldots$, a ich elementy małymi literami: $a, b, \ldots$.

Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem $\emptyset$. Zbiór zawierający tylko jeden element nazywamy zbiorem jednostkowym lub singletonem. Pojęcia zbioru pustego i jednostkowego są ważne, pozwalają często uprościć wypowiedzi i dowody twierdzeń.

Najczęściej zbiór określamy wymieniając wszystkie jego elementy, np. $\{2, 4, 7\}$, lub podając warunki, jakie spełniają elementy tego zbioru, np. $\{x \in R:   3 \lt x \lt 10\}$. W obu przypadkach używamy zapisu nawiasu klamrowego { }. Ogólnie zbiór, którego wszystkimi elementami są $x_1, x_2, \ldots, x_n$, oznaczamy $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.

Ze względu na liczebność, zbiory dzielimy na:
zbiory skończone - zawierające ściśle określoną liczbę elementów (np. zbiór dzielników liczby $6$)
zbiory nieskończone - zawierające nieskończoną ilość elementów (np. zbiór liczb parzystych).
Zbiory skończone definiujemy najczęściej wymieniając wprost wszystkie jego elementy, natomiast w przypadku zbiorów nieskończonych zazwyczaj określamy warunek, który muszą spełniać wszystkie jego elementy.



Zadania - zbiory





© 2016 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 51 drukuj