Działania na wielomianach

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów nie sprawia większych trudności i w wyniku tych działań zawsze otrzymujemy wielomian. Działania na wielomianach podlegają znanym prawom. Zarówno dodawanie, jak i mnożenie wielomianów są łączne i przemienne. Zachodzi również prawo rozdzielności mnożenia wielomianów względem ich dodawania.

Zmieniając znaki wszystkich jednomianów tworzących wielomian na przeciwne otrzymujemy wielomian do niego przeciwny. Dla każdego wielomianu W(x) wielomian -W(x) = (-1) · W(x) jest przeciwny do W(x). Suma W(x) + (-W(x)) jest wielomianem zerowym.

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na redukcji wyrazów podobnych. Wykonując dodawanie wielomianów, dopisujemy do jednego wielomianu wyrazy drugiego, zachowując ich znaki i redukując wyrazy podobne. Odejmując od jednego wielomianu drugi wielomian, należy do pierwszego wielomianu dodać wielomian przeciwny do drugiego wielomianu.

Przykłady
(2x² - 3x + 1) + (5x² + 4x - 7) = 2x² - 3x + 1 + 5x² + 4x - 7 = 7x² + x - 6
(2x² - 3x + 1) - (5x² + 4x - 7) = 2x² - 3x + 1 - 5x² - 4x + 7 = -3x² - 7x + 8

Mnożenie wielomianów

Iloczynem dwóch wielomianów nazywamy wielomian, który jest sumą iloczynów wszystkich składników jednego wielomianu przez wszystkie drugiego. Mnożymy więc każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dokonujemy redukcji wyrazów podobnych. Mnożąc wielomian przez jednomian możemy zastosować prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Przykład
(2x² - 3x + 1)(5x² + 4x - 7) = 10x⁴ + 8x³ - 14x² - 15x³ - 12x² + 21x + 5x² + 4x - 7 = 10x⁴ - 7x³ - 21x² + 25x - 7

Dzielenie wielomianów