Teoria mnogości, zadanie nr 3583

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2015-08-24 10:55:54 Okreslic bijekcje miedzy zbiorami $\{2,3\}^{A}$ i $\{5,7\}^{A}$. F:$\{2,3\}^{A}$$\rightarrow$$\{5,7\}^{A}$ ------------------------------------------------------------- Ogolnie mamy tak: $f: X\rightarrow$Y f(x)=y dla x$\in$X. f(x)$\in$Y. Argumentem funkcji f jest x dla x$\in$X. $Y^{X}$ to zbior wszystkich funkcji f przeksztalcajacych zbior X w zbior Y, czyli $f: X\rightarrow$Y. f$\in$$Y^{X}$. ------------------------------------------------------------- Wracajac do zadania. Niech $f: A\rightarrow\{2,3\}$ ; f$\in$$\{2,3\}^{A}$ f(a)=$\left\{\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}\right.$ dla a$\in$A. f(a)$\in$$\{2,3\}$. Niech $g: A\rightarrow\{5,7\}$ ; g$\in$$\{5,7\}^{A}$ g(a)=$\left\{\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}\right.$ dla a$\in$A. g(a)$\in$$\{5,7\}$. Argumentem funkcji F jest funkcja f, czyli F(f). F(f)=g(a) dla f$\in$$\{2,3\}^{A}$. Szczerze mowiac nie wydaje mi sie, ze ten wzor funkcji F jest poprawny. Moglbym poprosic o sprawdzenie? W ewentualnych komentarzach prosilbym o odwolywanie sie do tego ogolnego schematu abym mogl w bardziej zlozonych przykladach wiedziec co czemu odpowiada oraz piszac jakakolwiek funkcje prosilbym o napisanie do jakiego zbioru naleza jej argumenty. :)

tumor postów: 8070	2015-08-24 12:37:35 KAŻDEJ funkcji $f:A\to \{2,3\}$ należy przyporządkować dokładnie jedną funkcję $g:A\to \{5,7\}$ Niech zatem $g(a)=5$ gdy $f(a)=2$ oraz $g(a)=7$ gdy $f(a)=3$ (co zresztą można zapisać też $g(a)=2*f(a)+1$ ) wtedy $F(f)=g$ jest szukaną bijekcją (oczywiście, nie jedyną możliwą). W Twoim rozwiązaniu nie ma jasnego przepisu jak z f zrobić g. Funkcji, które nazywamy f, jest być może dużo, funkcji, które nazywamy g, jest być może dużo, f,g to tylko literki. Ale jeśli ktokolwiek poda konkretną funkcję f, to od Ciebie ma uzyskać konkretny przepis na funkcję g. Przy tym dwóm różnym f mają odpowiadać dwie różne g. Podałem na przykład taki przepis, że wszędzie tam i tylko tam, gdzie f ma wartość 2, tam g ma wartość 5. Widać, że takie przyporządkowanie jest bijekcją? Można też udowodnić ściślej.

geometria postów: 865	2015-08-24 22:52:21 No dobrze, czyli F(f)=g dla f$\in$$\{2,3\}^{A}$. F(f)=$\left\{\begin{matrix} g(a)=5, gdy f(a)=2 \\ g(a)=7, gdy f(a)=3 \end{matrix}\right.$ Tak? A nie ma potrzeby pisania, nigdzie ze a$\in$A? Na czym polegalby scislejszy dowod?

tumor postów: 8070	2015-08-24 23:06:47 Dobrze jest, choć zapisane niezbyt pięknie. Powinieneś raczej unikać mieszania argumentów. Argumentami funkcji $f,g$ są $a\in A$, natomiast argumentem funkcji F jest f, wartością jest g. $F(f)=g$ oraz $F(f(a))=g(a)$ są zapisami ładnymi. A mieszanie ich przestaje być ładne. Dwa zapisy: $f:A\to \{2,3\}$ i $f\in \{2,3\}^A$ znaczą dokładnie to samo. Wiadomo już, że gdy zapiszemy $f(a)$, to $a$ jest elementem dziedziny, czyli $A$. Można to napisać trzeci raz, ale naprawdę ważniejsze jest poprawnie coś rozumieć niż męcząco zapisać. --- Ścisłe udowadnianie, że coś jest bijekcją, polega na pokazaniu a) różnowartościowości, niech $f_1\neq f_2$, czyli istnieje $a\in A$, że $f_1(a)\neq f_2(a)$, wtedy $F(f_1(a))\neq F(f_2(a))$, czyli $g_1=F(f_1)\neq F(f_2)=g_2$ b) suriektywności niech $g\in \{5,7\}^A$, wtedy f dana wzorem $f(a)=\frac{g(a)-1}{2}$ należy do $\{2,3\}^A$ i spełnia $F(f)=g$. Wiadomość była modyfikowana 2015-08-24 23:07:21 przez tumor

geometria postów: 865	2015-08-25 08:31:49 Dziekuje.

geometria postów: 865	2015-08-25 09:23:26 Jesli mamy funkcje $f:A\rightarrow$B$\times$C, to funkcje $f_{1}$: $ A\rightarrow$B ($f_{1}$(a)$\in$B) i $f_{2}$: $ A\rightarrow$C ($f_{2}$(a)$\in$C) sa funkcjami skladowymi funkcji f. f(a)=<$f_{1}$(a), $f_{2}$(a)> dla a$\in$A. ------------------------------------------------------------------ Okreslic bijekcje miedzy zbiorami $A^{\{2,3\}}$ i A$\times$A. F: $A^{\{2,3\}}$$\rightarrow$A$\times$A f: $\{2,3\}$$\rightarrow$A f(2)$\in$A f(3)$\in$A Analogicznie do poczatkowej uwagi: (g jest funkcja skladowa funkcji F) g: $A^{\{2,3\}}$$\rightarrow$A i wychodzi na to, ze ta druga bedzie taka sama jak g. Argumentem funkcji F i g jest funkcja f. g(f)$\in$A. F(f)=<g(f), g(f)> dla f$\in$$A^{\{2,3\}}$. Czy wzor wyszedl poprawny czy sa jakies niedociagniecia?

tumor postów: 8070	2015-08-25 11:15:12 Załóżmy, że $A=N$ oraz $f(2)=5, f(3)=20$ Czy umiesz powiedzieć, jaki element zbioru $N\times N$ jest wartością funkcji $F(f)=$? :) f jest funkcją, a w nawiasach <,> chcesz mieć parę elementów zbioru A, które mogą być czymkolwiek. Zatem tu będzie $F(f)=<f(2),f(3)>$ (na przykład, bo to nie jedyna możliwość) Z tego zapisu widzimy, że jeśli $f(2)=5, f(3)=20$ to $F(f)=<5,20>$ czyli dla dokładnie określonej funkcji f od razu widzimy, jaką wartość jej przyporządkowuje F. W Twoim zapisie nie ma konkretu. Piszesz o jakiejś funkcji $g:A^{\{2,3\}}\to A$, ale takich funkcji może być nieskończenie wiele (na przykład dla $A=N$), a nigdzie nie podajesz wzoru na żadną. Gdyby Twój zapis uzupełnić tak $F(f)=<g_1(f),g_2(f)>$ $g_1,g_2:A^{\{2,3\}}\to A$ $g_1(f)=f(2)$ dla $f\in A^{\{2,3\}} $ $g_2(f)=f(3)$ dla $f\in A^{\{2,3\}} $ to byłoby już konkretnie, tylko nie jestem przekonany, czy dla Ciebie zrozumiale. :) Patrz ostatni akapit. --- Nie możesz mieć dwukrotnie tej samej funkcji g, bo w wyniku zawsze miałbyś parę IDENTYCZNYCH elementów $<x,x>$, nieważne czym jest x. Natomiast jeśli tylko A ma więcej niż jeden element, na przykład $A=\{x,y\}, x\neq y$, to istnieje para $<x,y>\in A\times A$. Bijekcja, jak pamiętasz, musi jakiemuś elementowi f przyporządkować tę parę, ale jeśli dwa razy użyjesz tej samej g, to będzie to niemożliwe. --- I jeszcze mam małą uwagę metodologiczną. Piszesz wzory, symbole, krzaki. Ja rozumiem co piszesz, a Ty nie do końca. :) Sądzisz, że można tworzyć matmę, gdy się pisze symbole bez ich rozumienia? Nie wiem, czego gdzieś na uczelni wymagają, ale jednak polecam więcej pisać słowami, żeby własną wypowiedź rozumieć. W naszym przypadku mamy zbiór funkcji dwuargumentowych $f$, każda funkcja ma dwie wartości $f(2), f(3)$, obie ze zbioru $A$. Każdej takiej funkcji mamy przyporządkować (bijekcją!) PARĘ elementów zbioru $A$. Czy nie jest najprościej funkcji $f$ przyporządkować właśnie parę $<f(2),f(3)>$? Jest to banalne. Czyli $F(f)=<f(2),f(3)>$. Widzisz jak mało linii tekstu zajęło mi opisanie problemu słowami? A czy nie jest zrozumiale?

geometria postów: 865	2015-08-26 14:04:48 Dziekuje. Chcialbym teraz napisac wzor funkcji odwrotnej do F, czyli $F^{-1}$. $F^{-1}$: $A\times$A$\rightarrow$$A^{\{2, 3\}}$ Kazdej uporzadkowanej parze ze zbioru $A\times$A musze przyporzadkowac dokladnie jedna funkcje f ze zbioru $A^{\{2, 3\}}$. No to chyba najprosciej jest napisac tak: $F^{-1}$($\lt x, y\gt$)=f dla $\lt x, y\gt$$\in$$A\times$A. Oczywiscie f: $\{2, 3\}$$\rightarrow$A. Chyba, ze za pomoca tych funkcji skladowych tylko nie wiem czy one obowiazuja w odwrotnej sytuacji (bo tam zbior $A\times$A byl po prawej stronie).

geometria postów: 865	2015-08-26 14:17:24 Wtedy wedlug mnie byloby tak: $F^{-1}$($\lt f(2), f(3) \gt$)=f dla $\lt f(2), f(3) \gt$$\in$$A\times$$A$. Wiadomość była modyfikowana 2015-08-26 14:19:34 przez geometria

tumor postów: 8070	2015-08-26 15:54:03 To jeszcze raz coś napiszę. Niech konie to Azor, Bogdan i Chazan. Jeźdźcy to Mefisto, Nestle i Koryto. Nieustannie piszesz coś w rodzaju: Koniowi Azorowi przyporządkowujemy jeźdźca ze zbioru jeźdźców. DOBRZE, ale nie piszesz JAK. Parze liczb <x,y> masz przyporządkować f, czyli funkcję ze zbioru funkcji. Dobrze, ale nie piszesz jak. Na przykład tak, żeby f(2)=x f(3)=y I już widać, że ja napisałem JAKĄ funkcję f mamy wziąć? Bo Ty nigdzie nigdzie nigdzie nigdzie nigdzie tego nie piszesz. Piszesz, że bierzemy jakąś jakąś jakąś jakąś funkcję, ale jaką, tego nikt nie wie. Kolejny raz zwracam uwagę na to samo - pomijasz konkret, który jest właśnie istotą rozwiązania zadania, a zajmujesz się napisaniem trzy razy w różny sposób, że funkcja ze zbioru należy do tego zbioru. :) Zapis $F^{-1}(<f(2),f(3)>)=f$ jest już niezły, przynajmniej oddaje konkret, tylko używasz litery f zanim określisz, jakie to f ma być. To znaczy używasz f tak, jakbyś ją znalazł zanim zacząłeś jej szukać. Kolejność jest taka. Masz parę $<x,y>\in A\times A$ Przyporządkowujesz jej funkcję f taką, żeby f(2)=x f(3)=y. Jeśli mamy zbiór wszystkich funkcji $f:A^{\{2,3\}}$, to wśród nich znajdujemy takie f. Czyli najpierw mamy x,y, a potem znajdujemy f, by dopasować. Nie możesz ZACZĄĆ od tego, że masz f(2),f(3), bo masz tylko, jeśli już znalazłeś f. Jeśli już znalazłeś, to nie masz czego szukać. :)

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj