Teoria mnogości, zadanie nr 3583

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2015-08-26 19:44:55 Dziekuje bardzo. Kolejny przyklad bedzie troche zlozony. F: $A^{B\times C}$$\rightarrow$$(A^{B})^{C}$ Niech $f: B\times $$C$$\rightarrow$$A$ $f(\lt b, c \gt)$ $g: C\rightarrow$$A^{B}$ $g(c)$$\in$$A^{B}$, wiec $g(c)$ jako wartosc funkcji g bedzie teraz w roli funkcji postaci $g(c): B\rightarrow$A $($g(c)$)$(b) F(f)=$($g(c)$)$(b) czy F($f(\lt b, c \gt)$)=$($g(c)$)$(b) ? Ktory zapis jest poprawniejszy i czy w ogole jest dobry?

tumor postów: 8070	2015-08-26 21:38:48 Drugi zapis. $F(f)$ wskazuje na obiekt ze zbioru $(A^B)^C$ natomiast $F(f(<b,c>))$ wskazuje na obiekt ze zbioru $A$. Do tego $g$ jest ze zbioru $(A^B)^C$ czyli $F(f)=g$ natomiast $(g(c))(b)$ jest ze zbioru A, zatem $F(f(<b,c>))=(g(c))(b)$ (i dla czytelności wypada wówczas dodać, że dla wszystkich $b\in B, c\in C$) Oczywiście $b\in B, c\in C$, to wynika z kontekstu, więc będzie wybaczone, że nie jest zapisane. Natomiast powiedz mi, gdzie podajesz jakikolwiek przepis na funkcję $g$? Załóżmy, że A=B=C=R i $f(<b,c>)=(sinb)*(cosc)$ Możesz mi napisać, jak wygląda $g$ na podstawie Twojego rozwiązania?

geometria postów: 865	2015-08-26 22:44:19 Nie podalem.

geometria postów: 865	2015-08-27 09:56:41 Moglbym poprosic o pomoc?

tumor postów: 8070	2015-08-27 10:16:15 Przecież dostajesz. Masz dwa zbiory. Na przykład N i R. Masz zrobić funkcję $f:N\to R$, zatem $f(x)=y$ oraz $x\in N$ i $y\in R$. Ale nie ma żadnego wzoru tej funkcji. Widzisz jakiś wzór? Nie. Pomijasz kolejny raz ten zasadniczy fragment rozwiązania, kiedy nie tylko mówimy, że wartość funkcji należy do przeciwdziedziny (co odkryciem nie jest), ale jeszcze mówimy jak ją z argumentu wyprowadzić. Na przykład $f(x)=\sqrt{x^2+2\|x\|}$ --- W Twoim przykładzie $f$ jest argumentem, $g$ będzie wartością. Oczywiście $F(f)=g$. Pytanie kluczowe, to jak znając $f$ odnaleźć $g$. Rozumiesz, o co w ogóle chodzi? Masz dwa zbiory. Masz je połączyć funkcją. Ta funkcja, oznaczona $F$, ma być konkretna, byśmy umieli uzasadnić, że jest bijekcją. Tu jakiemuś $f$ przypisujesz jakieś $g$. A pewnie $f_1$ przypiszesz $g_1$ i $f_8$ przypiszesz $g_8$. Po czym poznasz, czy jeśli $f\neq f_1$, to $g\neq g_1$? Po czym poznasz, czy każde g z przeciwdziedziny jest wartością dla jakiegoś argumentu? NIE MASZ WZORU FUNKCJI. I nad tym musisz pomyśleć. JAKIE KONKRETNIE g ma zostać przyporządkowane konkretnemu f. Bo tylko to uzasadni, że zbiory są równoliczne. --- N i R nie są równoliczne. A przecież mogę napisać $F(f)=g$ dla $f\in N$ i $g\in R$. No i co? F to jakaś bijekcja jest? Nie jest? co to w ogóle jest? skąd wiadomo? Jeśli nic nie napiszesz, to nic nie masz. Sygnalizowałem ten problem w kilku przykładach wcześniej. Piszesz ciągle między jakimi zbiorami działa funkcja, ale nie piszesz jasnego wzoru funkcji. Nie wydaje mi się, żeby właściwe było podanie Ci rozwiązania na tacy po raz kolejny. Przykłady masz coraz bardziej abstrakcyjne, a nie mam pewności, czy przeanalizowałeś poprzednie. --- Jeszcze coś. Możesz mieć dwa zbiory równoliczne, jak N i N (zawsze biorę N z zerem), a funkcję zrobić, która bijekcją nie jest, na przykład $f(x)=x^2$. Jeśli masz zrobić BIJEKCJĘ to musisz w głowie mieć jakiś obraz tych zbiorów, jakieś wyobrażenie, co z czym ma się łączyć, żeby nic nie pominąć. I tak na przykład f(x)=x będzie już dość oczywistą bijekcją z N na N, natomiast $g(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 \mbox{ dla x parzystych} \\ x-1 \mbox{ dla x nieparzystych} \end{matrix}\right.$ będzie bijekcją mniej oczywistą, ale wciąż łatwo sobie wyobrazić co z czym łączymy. Wydaje mi się, że gdy idziesz w przykłady coraz bardziej abstrakcyjne, nie potrafisz sobie ich już wyobrażać, a tylko manipulujesz symbolami. To nie jest matematyka. Matematyka jest w głowie, a zapis to tylko zapis. :) Dlatego moja pomoc to w tej chwili wskazówka: sprawdź, co było źle w kilku ostatnich przykładach. Bo brakowało tam właśnie konkretu, wzoru funkcji. I oczywiście możesz liczyć na sprawdzenie, gdy coś zaproponujesz. Moich rozwiązań nie muszę tu ciągle pisać, ja to umiem. :P

geometria postów: 865	2015-08-27 12:47:15 Zrobilem tak: F: $A^{B\times C}$$\rightarrow$${(A^{B})}^{C}$ $f: B\times C\rightarrow A$ $F(f)\in$${(A^{B})}^{C}$ Stad $F(f): C\rightarrow$$A^{B}$ $(F(f))(c)\in$$A^{B}$ Stad $(F(f))(c): B\rightarrow A$ $((F(f))(c))(b)\in A$ Z okreslenia f mamy, ze $f(<b, c>)\in A$. $((F(f))(c))(b)=f(<b, c>)$ dla $c\in C$ i $b\in B$. Ten wzor wyszedl inny niz tamten. Tutaj nie pojawila sie funkcja g. Nie wiem czy te nawiasy w tym wzorze mozna opuscic czy nie. Czy teraz ten wzor jest poprawny?

tumor postów: 8070	2015-08-27 13:19:10 To, które nawiasy się opuszcza, zależy od umowy, czyli od tego, jak ustalimy, że rozumiemy zapis. Dla mnie zapis $F(f)(c)(b)$ jest czytelny, wiec będę to pisał zamiast $((F(f))(c))(b)$ $F(f)(c)(b)=f(<b,c>)$ już coś znaczy. Ważne jest to, że jeśli f jest znana, to wtedy wynik działania F też jest znany, bo zależy od f, a nie pojawia się tam żadna inna literka. Jeśli wprowadzasz literkę, to musisz ją opisać przy użyciu tych już znanych. Zatem: $F(f)=g$ czym jest $g$? $g:C\to A^B$, czyli $g$ argumentowi $c$ przyporządkowuje funkcję $h_c:B\to A$. Zatem $F(f)(c)=h_c$ i dalej, skoro $h_c$ jest funkcją, to $F(f)(c)(b)=h(b)=a$ No i dalej mamy pytanie, skądże wziąć to $a$? No z funkcji $f$. Najlepiej, gdy $a=f(<b,c>)$. Dostaniemy: $F(f)(c)(b)=g(c)(b)=h(b)=a=f(<b,c>)$ No i żeby pokazać, że tak określona $F$ jest bijekcją: a) różnowartościowość. Jeśli mamy $f_1, f_2$ różne, to różnią się dla jakiejś pary $<b,c>$ wynikiem. Jedna daje $a_1$, druga daje $a_2$. Wtedy $F(f_1)(c)(b)=a_1\neq a_2= F(f_2)(c)(b)$ zatem $F(f_1)\neq F(f_2)$ czyli $F$ jest różnowartościowa. b) suriektywność. Weźmy teraz dowolną funkcję $g:C\to (A^B)$, mamy pokazać, że jest ona wartością $F$ dla pewnego $f$. Mamy zatem dla każdego $c\in C$ określone $g(c)=h_c\in A^B$, czyli określony jest też element $g(c)(b)=h_c(b)=a\in A$ No i stwórzmy funkcję $f$ tak, aby $f(<b,c>)=g(c)(b)=h_c(b)=a$ wtedy $f\in A^{\{B\times C\}}$ należy do dziedziny. No i oczywiście $F(f)$ jest takie, że $F(f)(c)(b)=f(<b,c>)=g(c)(b)$ dla wszystkich $c\in C, b\in B$, wobec czego $F(f)=g$.

geometria postów: 865	2015-08-27 21:13:11 Dziekuje. Wroce jeszcze do poprzednich przykladow . ------------------------------------------------------------- $1)$ $F: A\times A\rightarrow A^{\{2,3\}}$ Tutaj wzor wyglada tak: $F(<x,y>)=f$ dla $x=f(2) \in A$ i $y=f(3) \in A$. ($f: \{2,3\}\rightarrow A$) ------------------------------------------------------------- $2)$ $F: \{2,3\}^{A} \rightarrow \{5,7\}^{A}$ Zrobilem jeszcze tak: $f: A\rightarrow \{2,3\}$ $F(f)\in \{5,7\}^{A}$ Stad $F(f): A\rightarrow \{5,7\}$ $F(f)(a)=5$ i $F(f)(a)=7$ Ten wzor to: $F(f)(a)=5$ dla $f(a)=2$ $F(f)(a)=7$ dla $f(a)=3$ Czyli $F(2)=5 $ $F(3)=7$ -------------------------------------------------------------- I jeszcze takie przyklady $3)$ $F: A\times B\rightarrow B\times A$ F$(<a,b>)=<b,a>$ dla $<a,b>\in A\times B$ -------------------------------------------------------------- $4)$ $F: A\times A\rightarrow A$ $F(<x,y>)=z$ dla $x,y,z\in A$ Czy jakis wzor jest niepoprawny?

tumor postów: 8070	2015-08-28 07:39:03 w 4) nie ma żadnego wzoru. $z$ jest nową literką niezwiązaną z poprzednimi. W poprzednich przykładach masz zależność opisaną. Tu masz tylko nową literkę. Można wprowadzać nowe litery (przykład w moim poście poprzednim), ale pokazuje się ich zależność od danych. w 4) założyć trzeba, że A ma zero, jeden lub nieskończenie wiele elementów, w innych przypadkach zbiory NA PEWNO NIE SĄ równoliczne. Przy tym równoliczność $N\times N \sim N$ pokazać łatwo. Albo równoliczność $R\times R \sim R$ (krzywa Peano + tw. Cantora-Bernsteina). Natomiast dla dowolnego nieskończonego zbioru A, przy założeniu pewnika wyboru (czyli także tw. o dobrym uporządkowaniu) dowodzi się tw. Hessenberga (można z użyciem funkcji Hessenberga), por. Błaszczyk, Turek "Teoria mnogości" s. 145 i 161. Tu się robi ciekawiej.

geometria postów: 865	2015-08-28 10:19:33 Dla mnie ciekawe bylo to, ze zbior liczb naturalnych jest rownoliczny ze zbiorem liczb calkowitych, ze zbiorem liczb parzystych, ... -------------------------------------------------------------- Dana jest bijekcja $f: N\times N\rightarrow N$. Zdefiniowac bijekcje $g: N\times N\times N\rightarrow N$. Funkcja f jest dana. Mamy $f(<n,k>)\in N$. Funkcja $g(<n,k,l>)\in N$. Na poczatku pomyslalem, ze wzor funkcji g moglby wygladac tak: $g(<n,k,l>)=f(<n,k>)$, g nie zalezy od zmiennej l. Ale np. $g(<1,2,3>)=f(<1,2>)=5$ $g(<1,2,2>)=f(<1,2>)=5$ wtedy g nie jest roznowartosciowa.

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj