logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 4503

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-27 16:54:18

Rozpatrujemy zbior $R\times R$ czesciowo uporzadkowany przez relacje:
$<$x,y$>$$\le$ $<$u,v$> $$\iff$ $x\le u \wedge y\le v$.

Zaznaczyc w ukladzie wspolrzednych Oxy zbior tych par, ktore sa porownywalne z para $<$1,3$>$ i nie sa porownywalne z para $<$3,1$>$.

Z tymi elementami porownywalnymi to nie do konca sobie radze.

Jak odczytac te relacje?
Czy za x moge podstawic 1 a za y 3 do tej relacji czy mam to podstwaic za u i v?


tumor
postów: 8070
2016-04-27 17:04:15

Mamy relację "mniejszy lub równy". Elementy są porównywalne, gdy można powiedzieć, że jeden z nich jest mniejszy lub równy od drugiego.

Oczywiście zwyczajnie w R każde dwie liczby są porównywalne.

Natomiast wyobraź sobie, że masz zwierzątka, zwierzątka mają wzrost i masę. Jeśli jedno zwierzę ma większy wzrost i większą masę niż drugie, to jest większe. Cóż jednak powiemy, gdy ma większy wzrost, ale mniejszą masę albo na odwrót? Wtedy sytuacja jest niejasna - takich zwierząt nie mamy jak porównać (chyba że wybierzemy, że np masa się dla nas bardziej liczy).

No i o to chodzi w tej relacji wyżej. Jeśli mamy $a\le x$ oraz $b \le y$, to (a,b) i (x,y) są porównywalne.

Żeby (x,y) było porównywalne z (1,3), musi być $x\le 1 \wedge y\le 3$ lub $1\le x \wedge 3 \le y$.

Żeby (x,y) nie było porównywalne z (3,1) to musi być $x>3 \wedge y<1$ lub $x<3 \wedge y>1$.


Porównywalność oznacza, że zachodzi jeden z wariantów
$(1,3)\le (x,y)$ lub
$(x,y)\le (1,3)$, oba sprawdzamy.


geometria
postów: 863
2016-04-28 19:09:10

Dla takiej samej relacji jak powyzej mamy:
A={$<$x,y$>$: x=$y^{2}$}
a) wskazac 3 elementy minimalne w zbiorze A wzgledem czesciowego porzadku $\le$
b)wskazac 3-elementowy lancuch elementow w zbiorze A wzgledem czesciowego porzadku $\le$


tumor
postów: 8070
2016-04-28 20:31:34

Czyli w zbiorze A są punkty $(y^2,y)$
a) Element minimalny $(a^2,a)$ to taki, że nie ma mniejszego, czyli nie ma $y\neq a$ takiego, że

$(y^2,y)\le (a^2,a)$

Zatem nie ma $y$ takiego, że $y^2\le a^2 \wedge y< a $.
Wystarczy zatem, żeby $a$ było ujemne. Jeśli wtedy $y<a$, to $y^2>a^2$, czyli nie znajdziemy pary $(y^2,y)$ mniejszej od $(a^2,a)$


b) $(1,1),\le (4,2)\le (6,25;2,5) \le (121,11)$

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-28 20:32:36 przez tumor

geometria
postów: 863
2016-04-29 09:45:54

Wyznacz kres gorny zbioru $B=${$<$x,y$>$: $x^{2}+y^{2}=1$}

Para (c,d) bedzie kresem gornym zbioru B, gdy wszystkie pary (x,y) nalezace do tego zbioru B beda w relacji z para (c,d), czyli
(x,y)$\le$(c,d) i dalej z okreslenia relacji mamy:
x$\le$c $\wedge$y$\le$d.

Ale nie wiem jak wyznaczyc ta pare. ( i te elementy minimalne wczesniej rowniez)



tumor
postów: 8070
2016-04-29 10:57:15

Kres górny to najmniejsze ograniczenie górne. (możesz zatem zrobić C - zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru B, a potem znaleźć element najmniejszy w C)

Ograniczeniem górnym jest na przykład $(2,3)$, bo jeśli
$x^2+y^2=1$, to na pewno $x\le 2$ i $y\le 3$.

Najmniejszym ograniczeniem górnym dla całego zbioru B będzie (1,1). Jest to oczywiście ograniczenie górne, bo jeśli $(x,y)\in B$, to $x\le 1, y\le 1$, czyli $(x,y)\le (1,1)$.
Jest to też ograniczenie najmniejsze.
Jeśli bowiem weźmiemy (a,b) będące ograniczeniem górnym dla zbioru B, to musi być $1\le a$ (bo punkt (1,0) należy do B, czyli $x=1\le a$), $1\le b$ (bo punkt (0,1) należy do B, czyli $y=1\le b$), czyli $(1,1)\le (a,b)$.


geometria
postów: 863
2016-04-29 18:18:00

Czyli te wszystkie pary, ktore sa ograniczeniami gornymi (badz dolnymi) musza byc w relacji z para (x,y) w taki sposob w jaki jest ona zdefiniowana.


geometria
postów: 863
2016-04-29 21:17:05

Ale nie musza one nalezec do tego zbioru, ktory chcemy ograniczac.


tumor
postów: 8070
2016-05-02 13:31:22

Zgadza się. Kres górny to ograniczenie górne (czyli ma być większe lub równe od każdego elementu zbioru, przy tym nie musi do tego zbioru należeć), a przy tym ograniczenie najmniejsze (czyli od pozostałych ograniczeń mniejsze lub równe).


geometria
postów: 863
2016-05-02 14:39:30

Wroce jeszcze do wyznaczania elementow minimalnych (w ogole elementow wyroznionych), bo chce to dobrze zrozumiec.

W tym zbiorze A={(x,y): $x=y^{2}$} elementy minimalne sa postaci ($a^{2}, a$), gdzie a<0, czyli np. (1,-1), (4,-2), (9,-3), (16,-4),
($\frac{1}{4}$,$-$$\frac{1}{2}$), (2,$-\sqrt{2}$) itd.

Chce przesledzic jeszcze raz ich wyznaczanie.

Definicja elementu minimalnego:

$\neg(\exists_{x}\in X)$x<a.

Ponadto $x<a \iff x\le a \wedge x\neq a$

W zbiorze $R^{2}$ definicja ta przyjmuje postac:

$\neg(\exists_{(x,y)}\in R^{2})$(x,y)<(a,b)

Ponadto (x,y)<(a,b)$\iff (x,y)\le (a,b) \wedge (x,y)\neq (a,b)$
$(x,y)\neq (a,b)$$\iff x\neq a \vee y\neq b$

W naszym przypadku mamy punkty postaci ($y^{2},y$), wowczas element minimalny ma postac ($a^{2},a$).
Zatem definicja wyglada tak:

$\neg(\exists_{(y^{2},y)}\in R^{2})$($(y^{2},y)<(a^{2},a)$) $\iff$ $\neg(\exists_{(y^{2},y)}\in R^{2})$($(y^{2},y)\le (a^{2},a) \wedge (y^{2},y)\neq (a^{2},a)$)
(czyli $y\neq a$)

$(y^{2},y)\le (a^{2},a)$ i z okreslenia tej relacji $\le$ mamy: $y^{2}\le a^{2} \wedge y<a$ (bo $y\neq a$)

I teraz definicja nam mowi, ze nie istnieje taka para $(y^{2},y)$, ktora jest mniejsza (rozumiem, ze miejsza w sensie relacji $\le$) od pary $(a^{2},a)$.

No i jak a<0 to koniunkcja $y^{2}\le a^{2} \wedge y<a$ nie jest spelniona, bo $y^{2}\ge a^{2}$.

Wowczas definicja elementu minimalnego jest spelniona, bo nie bedzie takiej pary $(y^{2},y)$ i wowczas elementy minimalne maja postac $(a^{2},a)$.

Ale jak zauwazyc, ze ma to byc a<0?

Czy te rozumowania sa poprawne i praktyczne przy wyznaczaniu tych elementow wyroznionych.


strony: 1 23

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj