Matematyka dyskretna, zadanie nr 4503

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tumor postów: 8070	2016-05-02 16:01:45 Wszystkie elementy zbioru A mają postać $(x^2,x)$. Elementy minimalne postaci $(a^2,a)$ przy tej naszej relacji muszą mieć a\le 0. Jeśli bowiem $a>0$, to dla $b=a/2$ będzie $(b^2,b)\le (a^2,a)$ i $b\neq a$ Jeśli natomiast b<a\le 0, to na pewno jest b^2>a^2, czyli elementy (b^2,b) i (a^2,a) są nieporównywalne. Nie istnieje w zbiorze A element od nich mniejszy, zatem to elementy minimalne. Rozumowania, które podajesz, są poprawne. Są rozpisaniem symbolicznym tego, co ja piszę słowami. Nie wydaje mi się, żeby była jakaś potrzeba symbolicznego zapisu, gdy treści jest tak niewiele, ale jak kto lubi. ---- Istotniejsze jest pytanie, jak zauważyć. A jak zauważasz ser w lodówce? Żeby zauważyć ser, musisz patrzeć w odpowiednie miejsce i jeszcze umieć rozpoznawać ser. Musisz znać jego cechy szczególnie i trafnie rozpoznać, że jakiś obiekt te cechy ma. Tu nie trzeba nic więcej. Umiesz dodawać, umiesz mnożyć. Zatem jest chyba dla Ciebie oczywiste (jak ser w lodówce), że dla liczb dodatnich $0<b<a$ jest $b^2<a^2$. Zatem $(b^2,b)\le(a^2,a)$, natomiast od każdej liczby dodatniej znajdziemy liczbę mniejszą też dodatnią. Wobec tego żadna para $(a^2,a)$ dla dodatniego $a$ nie jest elementem minimalnym. Wobec tego sprawdzamy, jak się będzie mieć rzecz z zerem i z ujemnymi $a$. W przedziale $(-\infty,0]$ funkcja $x=y^2$ (nie przywiązuj się do literek) jest malejąca. Czyli jeśli mamy $b<a\le 0$, to na pewno jest $b^2>a^2$. Wobec tego takie dwa elementy przestają być porównywalne ze sobą. Są minimalne, bo elementy z dodatnim a nie są od nich mniejsze (przez definicję relacji), $a$ te z niedodatnim $a$ też nie są mniejsze (przez nieporównywalność). To jest matma. Patrzysz i widzisz. W moim odczuciu próba DOJŚCIA do rozwiązania, gdy się go nie widzi, przez takie obracanie symbolami czasem może się powieść, ale na ogół będzie nużąca i długa.

geometria postów: 865	2016-05-02 17:54:08 Elementy maksymalne beda postaci ($a^{2},a$) dla a>0. A najwiekszych i najmniejszych wydaje mi sie, ze nie ma bo tam wszystkie pary ($x^{2},x)$ musza byc mniejsze lub rowne badz tez wieksze lub rowne od pary ($a^{2},a)$.

tumor postów: 8070	2016-05-02 17:58:20 Maksymalnych też przecież w A nie ma. Dla każdego $(a^2,a)$ gdzie $a$ jest dodatnie, mamy $(a^2,a)\le ((2a)^2,(2a))$. Skoro nie ma maksymalnych, to tym bardziej największego. Jeśli są co najmniej dwa minimalne (a są), to nie ma najmniejszego.

geometria postów: 865	2016-05-02 19:35:57 Dla zbioru D={(x,y): $\|xy\|=1$} wyznaczyc 3 elementy minimalne. \|xy\|=1$\iff$\|x\|*\|y\|=1 \|y\|=$\frac{1}{\|x\|}$ dla $x\neq 0$ punkty w tym zbiorze sa postaci (x, $\frac{1}{\|x\|}$) oraz (x, $-$$\frac{1}{\|x\|}$). (x, $\frac{1}{x}$) dla $x> 0$ (x, $\frac{1}{x}$) dla $x< 0$ (x, $-$$\frac{1}{x}$) $x> 0$ (x, $-$$\frac{1}{x}$) $x< 0$ Rozwazmy fragment zbioru D o punktach postaci (x, $\frac{1}{x}$) dla $x> 0$. Wowczas (x, $\frac{1}{x}$)$\le$(d, $\frac{1}{d}$)$\iff$x$\le d \wedge \frac{1}{x}\le \frac{1}{d} $ Dla d<0 mamy x>d czyli sa one nieporownywalne. Zatem elementy minimalne w tym obszarze sa postaci (d, $\frac{1}{d}$) dla d<0. Np. (1,-1), (-2,-$\frac{1}{2}$), (-$\frac{1}{2}$,-2) itd. Elementow maksymalnych, najwiekszych, najmniejszych w ogole nie ma w tym zbiorze D.

tumor postów: 8070	2016-05-02 19:54:45 A nie widzisz symetrii? Symetrie w matematyce mają różną postać. Ale chyba domyślasz się, jeśli masz równanie xy=8, że wykres jest symetryczny (dokładnie: względem osi y=x), skoro x i y pełnią dokładnie tę samą rolę (czynników). Na przykład liczby rzeczywiste są symetryczne względem punktu 0, każdej dodatniej odpowiada ujemna. Granice, całki czy coś jeszcze innego można liczyć korzystając z parzystości czy nieparzystości funkcji, czyli pewnych symetrii. Prawdopodobieństwo czy kombinatoryka też używają symetrii. W tym przypadku, skoro $\mid xy \mid = 1$ to zbiór jest w pewnym sensie symetryczny (konkretnie: wykres nie zmienia się przy zmianie znaków przy dowolnej zmiennej, wobec tego ma symetrię osiową względem obu osi, ma symetrię środkową względem (0,0)). Oczywiście to, czy jest, zależy od relacji. Relacja $(a,b)\le (c,d) \iff a\le c \wedge b\le d$ zachowuje jednak symetrię tego zbioru. Każdemu elementowi maksymalnemu będzie odpowiadać minimalny. Relacja ta bowiem porównuje OBIE współrzędne punktu. Dwa punkty są porównywalne jeśli jeden ma obie współrzędne większe lub równe albo obie mniejsze lub równe niż drugi. Jeśli zatem zbiór D jest symetryczny względem (0,0), to każdemu elementowi minimalnemu odpowiada element maksymalny. Elementy $(a,\frac{1}{a})$ dla $a$ ujemnego są minimalne. Jeśli bowiem $b$ będzie dodatnie, to $(a,\frac{1}{a})\le (b,\frac{1}{b})$, natomiast jeśli $c$ będzie ujemne i $c<a$, to $\frac{1}{c}>\frac{1}{a}$, czyli $(a,\frac{1}{a})$ oraz $(c,\frac{1}{c})$ nieporównywalne (przypadek $c>a$ nie musi być oddzielnie rozpatrywany, bo jest SYMETRYCZNY do przypadku $c<a$). Z kolei $(a,\frac{1}{a})$ dla $a$ dodatniego są maksymalne. Jeśli bowiem $b$ będzie ujemne, to $(a,\frac{1}{a})\ge (b,\frac{1}{b})$, natomiast jeśli $c$ będzie dodatnie i $c<a$, to $\frac{1}{c}>\frac{1}{a}$, czyli $(a,\frac{1}{a})$ oraz $(c,\frac{1}{c})$ nieporównywalne. Jeśli istnieją co najmniej dwa maksymalne, to nie ma największych. (Symetrycznie z minimalnymi i najmniejszymi)

geometria postów: 865	2016-05-02 20:28:34 Dziekuje. Elementy maksymalne i minimalne okregu $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ i kola $x^{2}+y^{2}\le r^{2}$ sa takie same. Tzn. elementy maksymalne to punkty postaci (x,y) dla x$\ge 0$ i y$\ge 0$. elementy minimalne to punkty postaci (x,y) dla x$\le 0$ i y$\le 0$. Brak elementow najmniejszych i najwiekszych.

tumor postów: 8070	2016-05-02 20:35:59 Dobrze myślisz, ale o ile przy okręgu wystarcza podać, że $x\ge 0$ i $y \ge 0$ (dla maksymalnych), to dla koła trzeba jeszcze dopisać, że są to właśnie punkty z kręgu, czyli $x^2+y^2=r^2$, a nie dowolne punkty koła, dla których $x\ge 0$ i $y \ge 0$ (i właśnie dlatego dla okręgu i koła są takie same). No i minimalne analogicznie.

geometria postów: 865	2016-05-03 13:25:50 Zbiorem wszystkich ograniczen gornych okregu $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ i kola $x^{2}+y^{2}\le r^{2}$ jest ten sam obszar, czyli $x\ge r \wedge y\ge r$. Kresem gornym okregu i kola jest punkt $(r,r)$. Zbiorem wszystkich ograniczen dolnych okregu $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ i kola $x^{2}+y^{2}\le r^{2}$ jest ten sam obszar, czyli $x\le - r \wedge y\le - r$. Kresem dolnym okregu i kola jest punkt $(-r,-r)$.

tumor postów: 8070	2016-05-03 13:35:42 ok

geometria postów: 865	2016-05-03 13:39:14 Majac taki okrag $x^{2}+y^{2}=1$ wskazac dwa elementy, ktore ograniczaja z gory ten okrag i sa nieporownywalne wzgledem $\le$. np. (2,3) i (3,2) (sa one nieporownywalne, bo 2$\le 3$ (to jest prawda) ale 3$\le 2$ (to jest nieprawda)

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj