Dana jest funkcja
$f(x)=\dfrac{1}{x}-1$.
Rozwiązujemy nierówność:
$f(x)\ge f(1-x)$.
Najpierw wyznaczamy dziedzinę nierówności.
Musi być:
$x\neq 0$ oraz $1-x\neq 0$, czyli
$x\neq 0$ i $x\neq 1$.
Podstawiamy wzór funkcji:
$\dfrac{1}{x}-1 \ge \dfrac{1}{1-x}-1$.
Odejmujemy $-1$ po obu stronach:
$\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{1-x}$.
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1-x}\ge 0$.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$\dfrac{1-x-x}{x(1-x)}=\dfrac{1-2x}{x(1-x)}\ge 0$.
Rozwiązujemy nierówność wymierną
$\dfrac{1-2x}{x(1-x)}\ge 0$.
Wyznaczamy punkty krytyczne:
$1-2x=0 \Rightarrow x=\dfrac12$,
$x=0$,
$x=1$.
Badamy znaki na przedziałach:
Dla $(-\infty,0)$ – wyrażenie < 0.
Dla $(0,\dfrac12)$ – wyrażenie > 0.
Dla $(\dfrac12,1)$ – wyrażenie < 0.
Dla $(1,\infty)$ – wyrażenie > 0.
Uwzględniając znak $\ge 0$ oraz wykluczając
$x=0$ i $x=1$, otrzymujemy:
$x\in\left(0,\dfrac12\right]\cup(1,\infty)$.
Odpowiedź:
$\left(0,\dfrac12\right]\cup(1,\infty)$.