Rozwiązujemy nierówność:
$\left|\dfrac{3x-1}{2x+3}\right|\le 3$.
Najpierw wyznaczamy dziedzinę:
$2x+3\neq 0 \Rightarrow x\neq -\dfrac32$.
Nierówność z wartością bezwzględną zapisujemy jako układ:
$-3 \le \dfrac{3x-1}{2x+3} \le 3$.
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
$\dfrac{3x-1}{2x+3}\le 3$.
Przenosimy na jedną stronę:
$\dfrac{3x-1-3(2x+3)}{2x+3}\le 0$,
$\dfrac{-3x-10}{2x+3}\le 0$.
Punkty krytyczne:
$-3x-10=0 \Rightarrow x=-\dfrac{10}{3}$,
$2x+3=0 \Rightarrow x=-\dfrac32$.
Z badania znaków otrzymujemy:
$x\in\left(-\infty,-\dfrac{10}{3}\right]\cup\left(-\dfrac32,\infty\right)$.
Teraz druga nierówność:
$-3\le\dfrac{3x-1}{2x+3}$.
Przenosimy na jedną stronę:
$\dfrac{3x-1+3(2x+3)}{2x+3}\ge 0$,
$\dfrac{9x+8}{2x+3}\ge 0$.
Punkty krytyczne:
$9x+8=0 \Rightarrow x=-\dfrac89$,
$x=-\dfrac32$.
Z badania znaków:
$x\in\left(-\infty,-\dfrac32\right)\cup\left[-\dfrac89,\infty\right)$.
Rozwiązaniem nierówności złożonej jest część wspólna obu zbiorów:
$x\in\left(-\infty,-\dfrac{10}{3}\right]\cup\left[-\dfrac89,\infty\right)$.
Odpowiedź:
$\left(-\infty,-\dfrac{10}{3}\right]\cup\left[-\dfrac89,\infty\right)$.