Zadanie 103

Dany jest ciąg pól kół $P_n$, gdzie promień $r_n=\dfrac{1}{2^n}$ dla $n\ge 1$.
Pole koła o promieniu $r$ wynosi $P=\pi r^2$, więc

$P_n=\pi\left(\dfrac{1}{2^n}\right)^2=\pi\cdot\dfrac{1}{4^n}$.

Szukamy sumy nieskończonej:
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P_n=\sum_{n=1}^{\infty}\pi\cdot\dfrac{1}{4^n} =\pi\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac14\right)^n$.

To jest szereg geometryczny o ilorazie $q=\dfrac14$ (i $|q|<1$), więc
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac14\right)^n=\dfrac{\frac14}{1-\frac14} =\dfrac{\frac14}{\frac34}=\dfrac13$.

Zatem
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P_n=\pi\cdot\dfrac13=\dfrac{\pi}{3}$.

Odpowiedź: $\dfrac{\pi}{3}$.