Zadanie 105

Przekształcamy równanie do postaci standardowej:
$x^2+(m-2)x-(m+1)=0$.
Niech jego (różne) pierwiastki to $x_1$ i $x_2$.

Warunek „różne rozwiązania” oznacza $\Delta>0$.
$\Delta=(m-2)^2-4\cdot 1\cdot (-(m+1))=(m-2)^2+4(m+1)=m^2+8$.
Ponieważ $m^2+8>0$ dla każdego $m\in\mathbb{R}$, równanie zawsze ma dwa różne pierwiastki.

Z wzorów Viete’a:
$x_1+x_2=-(m-2)=2-m$,
$x_1x_2=-(m+1)$.

Szukamy wartości minimalnej wyrażenia $x_1^2+x_2^2$.
Korzystamy z tożsamości: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

Podstawiamy dane z Viete’a:
$x_1^2+x_2^2=(2-m)^2-2\cdot (-(m+1))
=(m-2)^2+2(m+1)$.

Upraszczamy:
$(m-2)^2+2(m+1)=m^2-4m+4+2m+2=m^2-2m+6$.

Mamy więc funkcję kwadratową: $S(m)=m^2-2m+6$.
Jej minimum występuje w wierzchołku paraboli, czyli dla
$m=\dfrac{2}{2}=1$.

Dla $m=1$ otrzymujemy najmniejszą sumę kwadratów:
$S_{\min}=1^2-2\cdot 1+6=5$.

Odpowiedź:
Suma kwadratów różnych rozwiązań jest najmniejsza dla $m=1$ (wtedy wynosi $5$).