Zadanie 106

Dane: $a=2+\sqrt6$ oraz $b=2-\sqrt6$.
Najpierw obliczmy iloczyn $ab$:
$ab=(2+\sqrt6)(2-\sqrt6)=2^2-(\sqrt6)^2=4-6=-2$.

Obliczamy teraz wyrażenie:
$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^2$.

Najpierw licznik $a^2-b^2$:
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$a-b=(2+\sqrt6)-(2-\sqrt6)=2\sqrt6$.
$a+b=(2+\sqrt6)+(2-\sqrt6)=4$.
Zatem $a^2-b^2=(2\sqrt6)\cdot 4=8\sqrt6$.

Podstawiamy do ułamka:
$\frac{a^2-b^2}{ab}=\frac{8\sqrt6}{-2}=-4\sqrt6$.

Podnosimy do kwadratu:
$\left(-4\sqrt6\right)^2=16\cdot 6=96$.

Odpowiedź: $96$.