Funkcja kwadratowa $f(x) = -frac{1}{2}x^2 +bx + c$ ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś $OY$ w punkcie $P=(0,-8)$. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f$.
Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=-\frac12 x^2+bx+c$. Wiadomo, że ma jedno miejsce zerowe oraz przecina oś $OY$ w punkcie $P=(0,-8)$.
Z warunku przecięcia z osią $OY$ mamy:
$f(0)=c=-8$.
Zatem $c=-8$.
Warunek „jedno miejsce zerowe” oznacza, że wyróżnik (delta) jest równy $0$:
$\Delta=b^2-4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot(-8)=0$.
Obliczamy:
$4\cdot\left(-\frac12\right)=-2$, więc
$\Delta=b^2-(-2)\cdot(-8)=b^2-16=0$.
Stąd $b^2=16$, czyli $b=4$ lub $b=-4$.
Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od współczynnika przy $x^2$ i położenia wierzchołka.
Ponieważ $a=-\frac12<0$, parabola jest skierowana ramionami w dół, więc:
- funkcja rośnie do wierzchołka,
- a potem maleje.
Zatem:
Jeśli $b=4$, to $x_w=4$ i funkcja jest:
rosnąca na $(-\infty,4]$ oraz malejąca na $[4,\infty)$.
Jeśli $b=-4$, to $x_w=-4$ i funkcja jest:
rosnąca na $(-\infty,-4]$ oraz malejąca na $[-4,\infty)$.
Odpowiedź (zależnie od $b$):
$b=4$: $f$ rośnie na $(-\infty,4]$, maleje na $[4,\infty)$.
$b=-4$: $f$ rośnie na $(-\infty,-4]$, maleje na $[-4,\infty)$.