Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m\in R$, dla których dziedziną funkcji $f(x) = \frac{x-3}{\sqrt{x^2 + (m-1)x + 4}} $ jest zbiór liczb rzeczywistych.
Aby dziedziną funkcji
$f(x)=\dfrac{x-3}{\sqrt{x^2+(m-1)x+4}}$
był zbiór liczb rzeczywistych, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być dodatnie dla każdego $x\in\mathbb R$, a jednocześnie nie może przyjmować wartości $0$ (bo jest w mianowniku).
Zatem wymagamy:
$x^2+(m-1)x+4>0$ dla każdego $x\in\mathbb R$.
Rozważmy trójmian kwadratowy $q(x)=x^2+(m-1)x+4$.
Ma współczynnik przy $x^2$ równy $1>0$, więc jego wykres jest parabolą skierowaną w górę.
Aby $q(x)>0$ dla wszystkich $x$, trójmian nie może mieć miejsc zerowych, czyli jego wyróżnik musi spełniać warunek:
$\Delta<0$.