Zadanie 108

Dane są punkty $A=(-6,3)$ oraz $B=(0,5)$. Szukamy punktu $C$ leżącego na prostej
$k:\ x-2y+4=0$,
który jest równoodległy od punktów $A$ i $B$.

Punkt równoodległy od $A$ i $B$ leży na symetralnej odcinka $AB$.
Najpierw wyznaczmy środek odcinka $AB$.

$M=\left(\frac{-6+0}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(-3,4)$.

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$:
$k_{AB}=\frac{5-3}{0-(-6)}=\frac{2}{6}=\frac13$.

Współczynnik kierunkowy symetralnej (prostopadłej do $AB$) wynosi:
$k=-3$.

Równanie symetralnej odcinka $AB$, przechodzącej przez punkt $M(-3,4)$:
$y-4=-3(x+3)$.
Po uproszczeniu:
$y=-3x-5$.

Teraz wyznaczamy punkt przecięcia tej prostej z prostą $k$.
Z równania prostej $k$ mamy:
$x-2y+4=0$
$2y=x+4$
$y=\frac{x+4}{2}$.

Podstawiamy do równania symetralnej:
$\frac{x+4}{2}=-3x-5$.
$x+4=-6x-10$.
$7x=-14$.
$x=-2$.

Obliczamy współrzędną $y$:
$y=\frac{-2+4}{2}=1$.

Odpowiedź:
Szukany punkt ma współrzędne $C=(-2,1)$.