Zadanie 108

W trójkącie równoramiennym cosinus jednego z kątów jest równy $-0{,}8$.
Ponieważ cosinus jest ujemny, kąt ten musi być rozwarty, a więc jest to kąt przy wierzchołku trójkąta (między ramionami).

Niech ramiona trójkąta mają długość $a$, a podstawa $b$.
Dla kąta wierzchołkowego $\alpha$ mamy:
$\cos\alpha=-0{,}8=-\frac{4}{5}$.

Z twierdzenia cosinusów:
$b^2=a^2+a^2-2a^2\cos\alpha$.
Podstawiamy wartość cosinusa:
$b^2=2a^2-2a^2\cdot(-0{,}8)=2a^2+1{,}6a^2=3{,}6a^2$.

Stąd:
$b=\sqrt{3{,}6}\,a=\frac{6}{\sqrt5}a$.

Pole trójkąta liczymy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi:
$P=\frac12 a^2\sin\alpha$.

Obliczamy sinus kąta $\alpha$:
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6=\frac{3}{5}$.

Podstawiamy do wzoru na pole:
$\frac12 a^2\cdot 0{,}6=7{,}5$.
$0{,}3a^2=7{,}5$.
$a^2=25$.
$a=5$.

Obliczamy długość podstawy:
$b=\frac{6}{\sqrt5}\cdot 5=6\sqrt5$.

Odpowiedź:
Boki trójkąta mają długości $5$, $5$ oraz $6\sqrt5$.