Zadanie 109

Mamy wielomian:
$W(x)=(x^2-2)^3-125$.

Zauważmy, że $125=5^3$, więc jest to różnica sześcianów:
$W(x)=(x^2-2)^3-5^3$.

Korzystamy ze wzoru:
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Podstawiamy $a=x^2-2$, $b=5$:
$W(x)=\big((x^2-2)-5\big)\Big((x^2-2)^2+5(x^2-2)+25\Big)$.

Upraszczenie pierwszego czynnika:
$(x^2-2)-5=x^2-7$.

Upraszczenie drugiego czynnika:
$(x^2-2)^2=x^4-4x^2+4$, więc
$(x^2-2)^2+5(x^2-2)+25=(x^4-4x^2+4)+(5x^2-10)+25$
$=x^4+x^2+19$.

Ostatecznie:
$W(x)=(x^2-7)(x^4+x^2+19)$.