Zadanie 109

Miejsca zerowe funkcji to $1$ oraz $-3$, więc możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:
$f(x)=a(x-1)(x+3)$, gdzie $a\neq 0$.

Rozwijamy nawiasy:
$(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$, więc
$f(x)=a(x^2+2x-3)$.

Wyznaczmy wierzchołek paraboli. Dla trójmianu $x^2+2x-3$ mamy:
$x_w=-\frac{2}{2}= -1$.
Zatem dla funkcji $f$ również $x_w=-1$ (bo mnożenie przez $a$ nie zmienia współrzędnej $x$ wierzchołka).

Ponieważ $-1\in[-2,0]$, to najmniejsza wartość funkcji na przedziale $[-2,0]$ będzie równa wartości w wierzchołku (oznacza to, że parabola jest skierowana ramionami w górę, czyli $a>0$).
Zatem:
$f(-1)=-8$.

Liczymy $f(-1)$:
$f(-1)=a(-1-1)(-1+3)=a\cdot(-2)\cdot 2=-4a$.
Warunek $-4a=-8$ daje:
$a=2$.

Podstawiamy $a=2$ do wzoru i zapisujemy w postaci ogólnej:
$f(x)=2(x^2+2x-3)=2x^2+4x-6$.

Odpowiedź: $f(x)=2x^2+4x-6$.