Zadanie 132

Zapisujemy wszystkie potęgi o tej samej podstawie. Zauważmy, że:

$$ 4^{x} = (2^2)^x = 2^{2x}. $$

Równanie przyjmuje postać:

$$ 2^{2x} - 2^{x+1} = 8. $$

Wprowadzamy podstawienie: $$ t = 2^{x}, \quad t>0. $$

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

$$ t^2 - 2t - 8 = 0. $$

Rozkładamy na czynniki:

$$ (t-4)(t+2)=0. $$

Ponieważ $t>0$, bierzemy tylko: $$ t=4. $$

Wracamy do zmiennej $x$:

$$ 2^{x}=4=2^2 \Rightarrow x=2. $$

Odpowiedź: $x=2$.