1) Warunek ciągu arytmetycznego
Skoro liczby $4, x, y$ tworzą ciąg arytmetyczny, to wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną
sąsiednich:
$$
x=\frac{4+y}{2}.
$$
2) Warunek ciągu geometrycznego
Skoro liczby $x, y, 24$ tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi zależność:
$$
y^2 = x \cdot 24.
$$
3) Podstawienie
Podstawiamy $x=\dfrac{4+y}{2}$ do równania geometrycznego:
$$
y^2 = 24 \cdot \frac{4+y}{2} = 12(4+y).
$$
$$
y^2 = 48 + 12y.
$$
4) Równanie kwadratowe
$$
y^2 - 12y - 48 = 0.
$$
Obliczamy wyróżnik:
$$
\Delta = (-12)^2 + 4\cdot 48 = 144 + 192 = 336.
$$
$$
\sqrt{\Delta} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21}.
$$
Zatem:
$$
y=\frac{12 \pm 4\sqrt{21}}{2}=6 \pm 2\sqrt{21}.
$$
5) Wyznaczenie $x$
$$
x=\frac{4+y}{2}
=\frac{4+6\pm 2\sqrt{21}}{2}
=5 \pm \sqrt{21}.
$$
Oba rozwiązania spełniają warunki ciągów.
Odpowiedź:
$$ x=5\pm \sqrt{21}, \qquad y=6\pm 2\sqrt{21}. $$