1) Warunek ciągu arytmetycznego
Skoro $a_2, x, y$ tworzą ciąg arytmetyczny, to istnieje $d>0$ takie, że:
$$ x=a_2+d,\qquad y=a_2+2d. $$
2) Warunek ciągu geometrycznego
Skoro $x, y+6, a_8$ tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi zależność:
$$ (y+6)^2 = x\cdot a_8. $$
Podstawiamy $x=a_2+d$ oraz $y=a_2+2d$:
$$ (a_2+2d+6)^2=(a_2+d)\,a_8. $$
3) Równanie na $d$
Po przekształceniu otrzymujemy równanie kwadratowe:
$$ 4d^2+(4a_2+24-a_8)d+\big((a_2+6)^2-a_2a_8\big)=0. $$
Jego wyróżnik:
$$ \Delta = a_8\big(a_8+8a_2-48\big). $$
Zatem:
$$ d=\frac{a_8-4a_2-24\pm \sqrt{a_8\big(a_8+8a_2-48\big)}}{8}. $$
Ponieważ ciąg $a_2,x,y$ ma być rosnący, musi być $d>0$,
więc wybieramy ten znak ($+$ lub $-$), który daje wartość dodatnią.
4) Wyznaczenie $x$ i $y$
$$ x=a_2+d,\qquad y=a_2+2d, $$
gdzie
$$ d=\frac{a_8-4a_2-24\pm \sqrt{a_8\big(a_8+8a_2-48\big)}}{8},\quad d>0. $$
Odpowiedź:
$$ x=a_2+\frac{a_8-4a_2-24\pm \sqrt{a_8(a_8+8a_2-48)}}{8}, $$
$$ y=a_2+2\cdot\frac{a_8-4a_2-24\pm \sqrt{a_8(a_8+8a_2-48)}}{8}, $$
przy czym wybieramy ten znak, dla którego $d>0$ (oraz musi zachodzić $\Delta\ge 0$).