Rozważamy funkcję kwadratową:
$$
f(x)=x^2-2(m+1)x+m^2+m.
$$
Ma ona współczynnik $a=1>0$, więc parabola jest skierowana w górę.
Aby zachodziło $f(x)\ge 0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$, musi być spełniony warunek:
$$ \Delta \le 0. $$
1) Liczymy wyróżnik
$$
\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4\cdot 1 \cdot (m^2+m)
=4(m+1)^2-4(m^2+m).
$$
Wyłączamy $4$:
$$
\Delta=4\left((m+1)^2-(m^2+m)\right).
$$
Rozwijamy:
$$
(m+1)^2=m^2+2m+1.
$$
Zatem:
$$
(m+1)^2-(m^2+m)=(m^2+2m+1)-(m^2+m)=m+1.
$$
Czyli:
$$
\Delta=4(m+1).
$$
2) Warunek $\Delta\le 0$
$$
4(m+1)\le 0 \Rightarrow m+1\le 0 \Rightarrow m\le -1.
$$
Dla $m=-1$ mamy $\Delta=0$, więc parabola styka się z osią $OX$ i nadal $f(x)\ge 0$ dla każdego $x$.
Dla $m<-1$ mamy $\Delta<0$, więc parabola leży całkowicie nad osią $OX$.
Odpowiedź: $m\le -1$.