Zadanie 135

a) Zależność między długością łuku $l$, promieniem $r$ i kątem środkowym $\alpha$ (w radianach):

$$ l = r\alpha. $$

Podstawiamy dane: $$ 8\pi = 10\alpha \Rightarrow \alpha=\frac{8\pi}{10}=\frac{4\pi}{5}. $$

Zamieniamy radiany na stopnie: $$ \frac{4\pi}{5}\cdot \frac{180^\circ}{\pi}=144^\circ. $$

b) Pole wycinka koła:

$$ P_w=\frac{1}{2}r^2\alpha. $$

$$ P_w=\frac{1}{2}\cdot 10^2 \cdot \frac{4\pi}{5} =50\cdot \frac{4\pi}{5} =40\pi. $$

c) Szukany obszar to pole wycinka pomniejszone o pole trójkąta utworzonego przez dwa promienie i cięciwę.

Pole trójkąta o bokach $r,r$ i kącie między nimi $\alpha$:

$$ P_t=\frac{1}{2}r^2\sin\alpha. $$

$$ P_t=\frac{1}{2}\cdot 10^2\cdot \sin 144^\circ =50\sin 144^\circ. $$

Ponieważ $\sin 144^\circ=\sin(180^\circ-144^\circ)=\sin 36^\circ$, otrzymujemy:

$$ P_t=50\sin 36^\circ. $$

Szukane pole:

$$ P = P_w - P_t = 40\pi - 50\sin 36^\circ. $$

Odpowiedź:
a) $144^\circ$.
b) $40\pi$.
c) $40\pi - 50\sin 36^\circ$.