Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, którego pierwszy wyraz wynosi $a_1=2$, a różnica $r \gt 0$.
Wiadomo, że suma wyrazów o numerach od $1$ do $k$ jest równa $2026$, a suma wyrazów o numerach od $k+1$ do $2k$ jest równa $3039$.
Wyznacz liczbę $k$ oraz różnicę $r$.
Najpierw zapiszmy sumę pierwszych $k$ wyrazów ciągu:
$S_k=\frac{k}{2}\big(2a_1+(k-1)r\big)=\frac{k}{2}\big(4+(k-1)r\big)$.
Z treści zadania mamy:
$S_k=2026$.
Suma wyrazów od $(k+1)$ do $2k$ jest równa:
$S_{2k}-S_k=3039$.
Zatem:
$S_{2k}=2026+3039=5065$.
Obliczamy $S_{2k}$ ze wzoru:
$S_{2k}=\frac{2k}{2}\big(4+(2k-1)r\big)=k\big(4+(2k-1)r\big)$.
Otrzymujemy układ równań:
$\begin{cases}
\frac{k}{2}\big(4+(k-1)r\big)=2026,\\
k\big(4+(2k-1)r\big)=5065.
\end{cases}$
Pierwsze równanie mnożymy przez $2$:
$k\big(4+(k-1)r\big)=4052$.
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$k\big[(4+(2k-1)r)-(4+(k-1)r)\big]=5065-4052$.
$k\cdot kr=1013$.
$k^2r=1013$.
Ponieważ $1013$ jest liczbą pierwszą, a $k$ jest liczbą naturalną, otrzymujemy:
$k=1$ lub $k=1013$.
Dla $k=1$ suma $S_1=2\neq2026$, więc to rozwiązanie odrzucamy.