Zadanie 112

Dane: $A=(2,0)$, $B=(4,2)$ oraz okrąg $(x-1)^2+(y-3)^2=10$.
Szukamy punktu $C$ na tym okręgu takiego, aby trójkąt $ABC$ był równoramienny o podstawie $AB$, czyli aby
$AC=BC$.

Warunek $AC=BC$ oznacza, że punkt $C$ leży na symetralnej odcinka $AB$.
Wyznaczmy symetralną $AB$.

1) Środek odcinka $AB$:
$M=\left(\frac{2+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(3,1)$.

2) Współczynnik kierunkowy prostej $AB$:
$k_{AB}=\frac{2-0}{4-2}=\frac{2}{2}=1$.
Zatem współczynnik kierunkowy symetralnej (prostopadłej) wynosi $k=-1$.

3) Równanie symetralnej przechodzącej przez $M(3,1)$:
$y-1=-1(x-3)$.
$y=-x+4$.

Punkt $C$ musi leżeć jednocześnie na okręgu i na prostej $y=-x+4$.
Podstawiamy do równania okręgu:

$(x-1)^2+\big((-x+4)-3\big)^2=10$.
$(x-1)^2+(-x+1)^2=10$.

Ponieważ $(-x+1)^2=(x-1)^2$, mamy:
$2(x-1)^2=10$.
$(x-1)^2=5$.
$x-1=\pm\sqrt5$.

Stąd:
$x=1+\sqrt5 \quad \text{lub} \quad x=1-\sqrt5$.

Wyznaczamy odpowiadające wartości $y$ z $y=-x+4$:
Dla $x=1+\sqrt5$:
$y=-(1+\sqrt5)+4=3-\sqrt5$.

Dla $x=1-\sqrt5$:
$y=-(1-\sqrt5)+4=3+\sqrt5$.

Odpowiedź:
Szukane punkty to:
$C_1=(1+\sqrt5,\ 3-\sqrt5)$ oraz $C_2=(1-\sqrt5,\ 3+\sqrt5)$.