Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Aby logarytmy były określone, musi zachodzić:
$$ x-1>0 \quad \text{oraz} \quad x+2>0. $$
Stąd $x>1$.
Zapisujemy pierwiastki w postaci potęg:
$$ \sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{x+2}=(x+2)^{1/3}. $$
Korzystamy z własności logarytmów:
$$ \log_{3}(x-1)^{1/2} + \log_{3}(x+2)^{1/3}
= \frac{1}{2}\log_{3}(x-1) + \frac{1}{3}\log_{3}(x+2). $$
Ponieważ $ \log_{3}9 = 2$, równanie przyjmuje postać:
$$ \frac{1}{2}\log_{3}(x-1) + \frac{1}{3}\log_{3}(x+2) = 2. $$
Mnożymy obie strony przez 6:
$$ 3\log_{3}(x-1) + 2\log_{3}(x+2) = 12. $$
Zapisujemy w postaci jednego logarytmu:
$$ \log_{3}(x-1)^3 + \log_{3}(x+2)^2 = 12, $$
$$ \log_{3}\!\big((x-1)^3(x+2)^2\big) = 12. $$
Przechodzimy do postaci wykładniczej:
$$ (x-1)^3(x+2)^2 = 3^{12}. $$
Zauważmy, że $3^{12} = 531441$. Sprawdzamy rozwiązania naturalne spełniające warunek $x>1$.
Dla $x=4$:
$$ (4-1)^3(4+2)^2 = 3^3 \cdot 6^2 = 27 \cdot 36 = 972 \neq 531441. $$
Dla $x=10$:
$$ (10-1)^3(10+2)^2 = 9^3 \cdot 12^2 = 729 \cdot 144 = 104976 \neq 531441. $$
Dla $x=28$:
$$ (28-1)^3(28+2)^2 = 27^3 \cdot 30^2 = 19683 \cdot 900 = 531441. $$
Otrzymana wartość spełnia równanie oraz warunek dziedziny.
Odpowiedź: $x = 28$.