a) Ciągłość w punkcie $x=1$ oznacza:
$a\cdot 1 + b = -2\cdot 1 + 7 \Rightarrow a+b=5. \qquad (1)$
Punkt $A=(-1,5)$ należy do wykresu, a ponieważ $-1\le 1$, korzystamy z pierwszego wzoru:
$$ a\cdot(-1)+b=5 \Rightarrow -a+b=5. \qquad (2) $$
Dodajemy równania (1) i (2):
$$ (a+b)+(-a+b)=5+5 \Rightarrow 2b=10 \Rightarrow b=5. $$
Z (1): $a+5=5 \Rightarrow a=0$.
Zatem
$
f(x)=
\begin{cases}
5 & \text{dla } x\le 1,\\
-2x+7 & \text{dla } x>1.
\end{cases}
$
b) Rozwiązujemy $f(x)\ge x$ na przedziałach definicji.
1) Dla $x\le 1$: $f(x)=5$, więc
$$ 5 \ge x \Rightarrow x \le 5. $$
Z warunkiem $x\le 1$ dostajemy $x\in(-\infty,1]$.
2) Dla $x>1$: $f(x)=-2x+7$, więc
$$ -2x+7 \ge x \Rightarrow 7 \ge 3x \Rightarrow x \le \frac{7}{3}. $$
Z warunkiem $x>1$ dostajemy $x\in(1,\frac{7}{3}]$.
Razem:
$$ x \in (-\infty,1]\cup\left(1,\frac{7}{3}\right] = \left(-\infty,\frac{7}{3}\right]. $$
Odpowiedź (b): $x \le \frac{7}{3}$.
c) Liczymy pole figury ograniczonej przez $y=f(x)$, oś $OX$ oraz proste $x=0$ i $x=4$.
Na odcinku $[0,1]$ mamy $f(x)=5$ (nad osią), więc pole:
$$ P_1 = 5\cdot(1-0)=5. $$
Na odcinku $(1,4]$ mamy $f(x)=-2x+7$. Sprawdzamy, gdzie przecina oś $OX$:
$$ -2x+7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{2}=3{,}5. $$
Zatem na $(1,3{,}5]$ wykres jest nad osią, a na $[3{,}5,4]$ pod osią. Liczymy pola geometrycznie.
Dla $x=1$: $f(1)=5$, dla $x=3{,}5$: $f(3{,}5)=0$.
To trapez o podstawach $5$ i $0$ oraz wysokości $3{,}5-1=2{,}5$:
$$ P_2=\frac{(5+0)}{2}\cdot 2{,}5 = 6{,}25. $$
Dla $x=3{,}5$ do $x=4$ wykres jest pod osią: w $x=4$ mamy $f(4)=-1$.
Powstaje trójkąt o podstawie $4-3{,}5=0{,}5$ i wysokości $1$:
$$ P_3=\frac{1}{2}\cdot 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}25. $$
Ponieważ pytamy o pole figury ograniczonej z osią $OX$, bierzemy wartość bezwzględną części pod osią,
więc całkowite pole:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 = 5 + 6{,}25 + 0{,}25 = 11{,}5. $$
Odpowiedź (c): $P = 11{,}5$.