Zadanie 115

W granicy otrzymujemy postać nieoznaczoną typu $\frac{0}{0}$, dlatego przekształcimy wyrażenie.

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone licznika:

$ \frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-x}}. $

Otrzymujemy:

$ \frac{(1+2x)-(1-x)}{x\left(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-x}\right)}. $

Upraszczamy licznik: $$ (1+2x)-(1-x)=3x. $$

Zatem wyrażenie ma postać:

$ \frac{3x}{x\left(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-x}\right)}. $

Skracamy przez $x$ (dla $x\neq 0$):

$ \frac{3}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-x}}. $

Teraz możemy obliczyć granicę, podstawiając $x \to 0$:

$ \lim_{x \to 0} \frac{3}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-x}} = \frac{3}{\sqrt{1}+ \sqrt{1}} = \frac{3}{2}. $

Odpowiedź: $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}{x} = \frac{3}{2}. $