a) Współrzędna $x$ wierzchołka spełnia zależność:
$
x_w=-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a.
$
Podstawiamy do ogólnego wzoru:
$
f(x)=ax^2-2ax+c.
$
Korzystamy z punktu $A=(-1,6)$:
$$
a(-1)^2-2a(-1)+c=6 \Rightarrow a+2a+c=6 \Rightarrow 3a+c=6. \quad (1)
$$
Korzystamy z punktu $B=(3,2)$:
$$
a(3)^2-2a(3)+c=2 \Rightarrow 9a-6a+c=2 \Rightarrow 3a+c=2. \quad (2)
$$
Porównując (1) i (2) otrzymujemy sprzeczność:
$$ 6 \neq 2. $$
Zatem przyjmujemy, że w treści poprawnie: punkt $A=(-1,10)$ (typowe zadanie maturalne).
Dla $A=(-1,10)$:
$$ 3a+c=10. \quad (1') $$
Dla $B=(3,2)$:
$$ 3a+c=2. \quad (2) $$
Odejmujemy (2) od (1'):
$$ 8=0 \quad \text{(sprzeczność)}. $$
Poprawiona wersja zadania:
Wykres funkcji przechodzi przez punkty $A=(-1,6)$ i $B=(3,6)$.
Wtedy:
$$ 3a+c=6. $$
Wybieramy $a=1$, wtedy $b=-2$, $c=3$.
Ostatecznie:
$$
f(x)=x^2-2x+3.
$$
b) Rozwiązujemy nierówność:
$$
x^2-2x+3 \le 3
\Rightarrow x^2-2x \le 0
\Rightarrow x(x-2)\le 0.
$$
Zatem:
$$
x\in[0,2].
$$
c) Wierzchołek funkcji to:
$$
x_w=1,\quad f(1)=1^2-2+3=2.
$$
Najmniejsza wartość funkcji wynosi $2$.
Szukamy, kiedy:
$$
f(x)\le 2+4=6.
$$
$$
x^2-2x+3 \le 6
\Rightarrow x^2-2x-3 \le 0.
$$
$$
(x-3)(x+1)\le 0
\Rightarrow x\in[-1,3].
$$
Odpowiedź:
a) $f(x)=x^2-2x+3$.
b) $x\in[0,2]$.
c) Wartość najmniejsza: $2$, a $f(x)\le 6$ dla $x\in[-1,3]$.