a) Ponieważ $DE \parallel BC$, to trójkąty $ADE$ i $ABC$ są podobne, więc:
$$ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}. $$
Podstawiamy dane:
$$ \frac{9}{15}=\frac{AE}{20}. $$
$$ AE=20\cdot\frac{9}{15}=20\cdot\frac{3}{5}=12. $$
Odpowiedź (a): $AE=12$.
b) Z warunku $BF:FC=2:3$ wynika, że istnieje liczba $t>0$ taka, że
$$ BF=2t,\quad FC=3t,\quad BC=5t. $$
Ponieważ $DE \parallel BC$, to odcinek $DE$ dzieli boki $AB$ i $AC$ w tym samym stosunku:
$$ \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}. $$
Mamy $AD=9$, $AB=15$, więc $DB=15-9=6$ i:
$$ \frac{AD}{DB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}. $$
Z punktu (a) $AE=12$, a $AC=20$, więc $EC=20-12=8$ i rzeczywiście:
$$ \frac{AE}{EC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}. $$
Teraz zastosujemy twierdzenie Talesa w wersji o podziale odcinków przez dwie sieczne w układzie równoległych.
Rozpatrzmy proste $BC$ i $DE$ jako równoległe oraz sieczne $DF$ i $AC$:
punkt $P$ to przecięcie $DF$ z $EC$ (czyli z częścią boku $AC$ poniżej punktu $E$).
W trójkącie $DFC$ odcinek $EP$ jest równoległy do $FC$ (bo $E$ leży na $AC$, a $DE \parallel BC$, więc kierunek równoległy do $BC$ jest też równoległy do $FC$ jako części $BC$).
Zatem z podobieństwa trójkątów $DPE$ i $DFC$ otrzymujemy proporcję:
$$ \frac{DP}{DF}=\frac{DE}{FC}. $$
Analogicznie w trójkącie $DFB$ z podobieństwa trójkątów $DPD$ (w sensie odcinka na tej samej siecznej) i odpowiednich figur dostajemy:
$$ \frac{DP}{DF}=\frac{DE}{BC} \quad \text{oraz} \quad \frac{PF}{DF}=\frac{DE}{BC}\cdot\frac{FC}{DE}=\frac{FC}{BC}. $$
Wygodniej jest przejść bezpośrednio do stosunku odcinków na tej samej prostej $DF$:
odcinki $DP$ i $PF$ odpowiadają (w sensie Talesa) odcinkom na prostej $BC$, czyli odpowiednio $FC$ i $BC$.
Stąd:
$$ \frac{DP}{PF}=\frac{FC}{BC}. $$
A ponieważ $FC:BC = 3t:5t = 3:5$, to:
$$ \frac{DP}{PF}=\frac{3}{5}. $$
Wniosek: $ \displaystyle \frac{DP}{PF}=\frac{3}{5}$, co należało wykazać.