a) Tworzymy liczbę czterocyfrową, więc cyfra tysięcy nie może być zerem.
Cyfra tysięcy: $6$ możliwości (od $1$ do $6$).
Cyfra setek: $6$ możliwości (pozostałe cyfry, w tym $0$).
Cyfra dziesiątek: $5$ możliwości.
Cyfra jedności: $4$ możliwości.
Łącznie:
$$ 6\cdot 6\cdot 5\cdot 4 = 720. $$
Odpowiedź (a): Można utworzyć $720$ takich liczb.
b) Liczba jest podzielna przez $5$, gdy jej ostatnia cyfra to $0$ lub $5$.
Przypadek 1: ostatnia cyfra $0$.
Cyfra tysięcy: $6$ możliwości ($1$–$6$).
Cyfra setek: $5$ możliwości.
Cyfra dziesiątek: $4$ możliwości.
$$ 6\cdot 5\cdot 4 = 120. $$
Przypadek 2: ostatnia cyfra $5$.
Cyfra tysięcy: $5$ możliwości (od $1$ do $6$ z wyjątkiem $5$).
Cyfra setek: $5$ możliwości (w tym $0$).
Cyfra dziesiątek: $4$ możliwości.
$$ 5\cdot 5\cdot 4 = 100. $$
Razem:
$$ 120 + 100 = 220. $$
Odpowiedź (b): Liczb podzielnych przez $5$ jest $220$.
c) Liczba ma być parzysta i większa od $3000$.
Liczba większa od $3000$ oznacza, że cyfra tysięcy to $3,4,5$ lub $6$.
Liczba parzysta oznacza, że cyfra jedności to jedna z cyfr: $0,2,4,6$.
Rozpatrujemy przypadki według cyfry jedności.
Jedności = $0$:
Tysiące: $4$ możliwości ($3,4,5,6$).
Setki: $5$ możliwości.
Dziesiątki: $4$ możliwości.
$$ 4\cdot 5\cdot 4 = 80. $$
Jedności = $2,4$ lub $6$: (3 możliwości)
Tysiące: $3$ możliwości (spośród $3,4,5,6$ bez wybranej cyfry jedności).
Setki: $5$ możliwości.
Dziesiątki: $4$ możliwości.
$$ 3\cdot 3\cdot 5\cdot 4 = 180. $$
Razem:
$$ 80 + 180 = 260. $$
Odpowiedź (c): Takich liczb jest $260$.