Zadanie 213

Załóżmy, że $n$ jest liczbą parzystą. Wtedy istnieje liczba całkowita $k$ taka, że $$ n=2k. $$

Podstawiamy do wyrażenia: $$ n^3+5n=(2k)^3+5\cdot(2k). $$ $$ =8k^3+10k. $$

Wyłączamy wspólny czynnik $2$: $$ 8k^3+10k=2(4k^3+5k). $$

Liczba $$ 4k^3+5k $$ jest całkowita, więc liczba $$ 2(4k^3+5k) $$ jest podzielna przez $2$.

Zatem liczba $$ n^3+5n $$ jest podzielna przez $2$.

Wniosek.
Dla każdej liczby naturalnej parzystej $n$ liczba $$ n^3+5n $$ jest podzielna przez $2$.