Zadanie 214

Mamy wyrażenie typu $\frac{0}{0}$, więc przekształcamy licznik.

Krok 1. Mnożymy przez wyrażenie sprzężone.
$$ \frac{\sqrt{1+2x}-1-x}{x^2}\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+1+x}{\sqrt{1+2x}+1+x}. $$

Licznik: $$ (\sqrt{1+2x}-1-x)(\sqrt{1+2x}+1+x) =(1+2x)-(1+x)^2. $$ $$ =1+2x-(1+2x+x^2) =1+2x-1-2x-x^2=-x^2. $$

Zatem: $$ \frac{-x^2}{x^2(\sqrt{1+2x}+1+x)}. $$ Skracamy: $$ \frac{-1}{\sqrt{1+2x}+1+x}. $$

Krok 2. Przechodzimy do granicy.
$$ \lim_{x\to 0}\frac{-1}{\sqrt{1+2x}+1+x} =\frac{-1}{1+1+0} =-\frac{1}{2}. $$

Odpowiedź: $$ -\frac{1}{2}. $$