Konkurs Sinus

Autor	Wiadomość
Mariusz Śliwiński postów: 489	2013-04-09 21:50:45 Dodam to zadanie do zbioru. Wzór wyprowadzony ma postać $\frac{a^2b}{6}$, gdzie $a$ to długość krawędzi prostopadłych , a $b$ to odległość między nimi.

ttomiczek postów: 208	2013-05-08 07:17:16 Zadanie 5! Ja to rozumuje tak: 1) trójkąt o kątach 60,60,60 2) trójkąt o kątach 45,45,90 - ramię 10 3) trójkąt o katach 45,45,90 -podstawa 10 4) trójkąt o kątach 30,30,120 Co tu jest źle?

Mariusz Śliwiński postów: 489	2013-05-08 12:14:16 Ile istnieje nieprzystających trójkątów równoramiennych o podstawie długości 10, w których sinus jednego z kątów jest równy kosinusowi innego kąta tego trójkąta? 1 i 2 nie pasuje.

ttomiczek postów: 208	2013-05-08 19:17:53 Ok, zaćmienie chwilowe:)

panrafal postów: 174	2013-10-29 20:01:44 Chciałbym się dowiedzieć jak zrobić to zadanie: Ile rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich ma równanie a!b!=a!+b!+c!?

95pawel postów: 1	2013-10-29 20:18:54 jak jeszcze ktos moglby wyjasnic zadanie 4. i 5. (zad. 4 znalazalem 3 liczby ,ale nie podoba mi sie metoda , ktora stosowalem, co do zad. 5 calkowicie nw jak to mozliwe, skoro liczba w kluczu nie jest podzielna przez 9 )

tumor postów: 8070	2013-10-29 20:23:49 5 Liczba 0. Jedna. Liczby 1-9, dziewięć. Dwucyfrowych jest $9*9$, bo każdą jednocyfrową możemy przedłużyć do dwucyfrowej na 9 sposobów. Trzycyfrowych jest $9^3$, bo każdą dwucyfrową... Trzeba tylko sumować potęgi dziewiątki. --- jaką metodę stosowałeś w 4?

Mariusz Śliwiński postów: 489	2013-10-29 20:43:39 Zadanie 3. W tym zadaniu łatwiej znaleźć rozwiązanie, bo nietrudno zauważyć, że dla $a, b$ większych już od niedużych liczb równanie jest niespełnione. Postaram się dodać we czwartek rozwiązanie do zbioru zadań, ale nie wiem czy nie mam błędu w rozumowaniu, tak czy inaczej jest tylko jedno rozwiązanie (3,3,4). Zadanie 5. Dla naturalnych bez zera także były akceptowane odpowiedzi. Wiadomość była modyfikowana 2013-10-29 22:20:52 przez Mariusz Śliwiński

tumor postów: 8070	2013-10-29 22:12:33 3. Zauważamy, że a i b nie są liczbami 0,1,2 - to dość szybko widać, gdy się wstawi za a! liczbę 1 lub 2, że c nie dobierzemy do żadnego b. Zatem możemy napisać $3\le a\le b$, wówczas jednak mamy pewność, że $c!>b!$, czyli $3\le a\le b <c$. Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą i $p^k$ dzieli liczbę $b!$, to dzieli także $c!$ i dzieli $a!b!$. Zatem musi dzielić też liczbę $a!$ (z prostych własności podzielności). Stąd $a=b$. Dostajemy równanie $(a!)^2=2(a!)+c!$ $(a!)^2=a!(2+(a+1)(a+2)...(c-1)(c))$ $a!=2+(a+1)(a+2)...(c-1)(c)$ wiemy, że $a!$ jest podzielne przez $3$. Zatem $(a+1)(a+2)...(c-1)(c)$ NIE jest podzielne przez $3$, a nawet daje przy dzieleniu przez $3$ resztę $1$. Stąd wiemy, że $c=a+1$ (bo dla $c=a+2$ iloczyn $(a+1)(a+2)$ daje resztę z dzielenia przez 3 równą 0 lub 2, czyli źle, a iloczyn trzech i więcej kolejnych liczb daje resztę 0). Mamy $a!*a!=2a!+(a+1)!$, czyli $a!=2+a+1$, $a=3$ $c=4$ $b=3$ Może się da sprytniej, ale na razie nie widzę.

panrafal postów: 174	2013-10-30 00:55:21 Dziękuję. Podoba mi się to rozwiązanie.

strony: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... 26

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj