Geometria, zadanie nr 5497
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| krzysiekj postów: 3 |  2015-11-14 17:32:02Na bokach BC i CD kwadratu ABCD wybrano takie punkty E i F, że miara kąta EAF jest równa 45 stopni. Odcinki AE oraz AF przecinają przekątną BD kwadratu odpowiednio w punktach G i H. Wykaż, że pole trójkąta AGH jest równe polu czworokąta GEFH. |
| rockstein postów: 33 | 2016-01-16 14:37:04 Przepraszam, że rozwiązanie zadania będzie bez rysunku. Postaram się podać dokładny opis szkicu, według którego każdy zainteresowany Czytelnik sporządzi swój własny. Punkty przecięcia przekątnej kwadratu DB odcinkami AF i AE oznaczam odpowiednio H, G. Kąt nachylenia odcinka AE względem boku kwadratu AB=a oznaczam jako (alfa). Z prostej analizy szkicu wynika, że kąt(AGB)= 135-(alfa), kąt(AFD)=45+(alfa), kąt(DHA)=90+(alfa). Teza zadania: [AGH]=[GEFH] Wykażę, że pole [AEF]=2*[AGH], skąd będzie: [AGH]=[GEFH] AE=a/cos(alfa); z tw. sinusów: AG/sin(45)=a/sin[180-(45+alfa)], skąd AG=a*sin(45)/sin(45+alfa). AF=a/sin(45+alfa); z tw. sinusów: AH/sin(45)=a/sin(90+alfa), skąd AH=a*sin(45)/cos(alfa). [AGH]=(1/2)*AG*AH*sin(45), skąd po łatwych przekształceniach [AGH]=(a^2)*SQR(2)/[8*sin(45+alfa)*cos(alfa)]. Z kolei [AFE]=(1/2)*AE*AF*sin(45), skąd: [AFE]=(a^2)*SQR(2)/[4*cos(alfa)*sin(45+alfa)]. Z porównania [AGH] i [AFE] wynika, że 2*[AGH]=[AFE], a ponieważ [AFE]=[AGH]+[GEFH], więc [AGH]=[GEFH] q.e.d. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj