Stereometria, zadanie nr 5698

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
blunio postów: 21	2016-03-11 14:39:39 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez równoramienny ABCD , którego ramiona mają długość \|AD \| = \|BC \| = 16$\sqrt{2}$ i tworzą z podstawą AB kąt ostry o mierze 45∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem α takim, że tgα = 15/8 . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego ściany bocznej SAD.

janusz78 postów: 820	2016-03-12 21:47:50 Rysunek: Z treści zadania wynika, że spodek wysokości O ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego o promieniu $ r $ w jego podstawę. Wysokość trapezu równoramiennego jest równa $ 16 = 2r,$ stąd $ r= 8.$ Z trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej SAD ostrosłupa, jedną z przyprostokątnych - promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny a drugą przyprostokątną wysokość $ H $ ostrosłupa: $ tg(\beta)= \frac{H}{r} = \frac{15x}{8x},\ \ 8x =8,\ \ x=1,\ \ H=15x = 15\cdot 1 = 15. $ Jeśli odległość spodka wysokości od ściany bocznej ostrosłupa SAD oznaczymy przez $ \|OE\|= d $, to z trójkąta prostokątnego OEA: $ \sin(\beta) = \frac{d}{r},\ \ d = r\sin(\beta) $ (1) Obliczając wartość sinusa miary kąta beta, gdy tangens tego kąta jest równy $ \frac{15}{8}, $ otrzymujemy $ \frac{15}{8}= \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}= \frac{\sin(\beta)}{\sqrt{1-\sin^2(\beta)}}.$ Stąd $ \sin(\beta) = \frac{15}{17}.$ Z (1) $ d= 8\cdot \frac{15}{17} = \frac{120}{17}= 7\frac{1}{17}.$ Wiadomość była modyfikowana 2016-03-12 21:54:36 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj