Równania i nierówności, zadanie nr 5833

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
iwka postów: 128	2016-07-01 11:48:32 Czemu równanie ma dwa pierwiastki jeśli delta jest większa lub równa zero?

janusz78 postów: 820	2016-07-04 21:46:18 Wynika to z postaci kanonicznej równania kwadratowego (funkcji kwadratowej). $ ax^2 +bx +c =0, \ \ a,b,c \in R, \ \ a\neq 0.$ $a\left(x^2 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)=0,$ $ a\left(x^2 + 2\frac{b}{2a} + \frac{c}{a}\right)=0,$ $ a\left[x^2 +2\frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right]= 0,$ $ a\left[\left(x+ \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] = 0.$ $ a\left[(x+ \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]= 0.$ Oznaczając wyróżnik $ \Delta = b^2 -4ac.$ $ a\left[(x+\frac{b}{2a})^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right]=0.$ (1) Jeżeli $\Delta >0,$ to stosując wzór na różnicę kwadratów z (1) otrzymujemy: $ a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left( x +\frac{b}{2a}+ \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0,$ $ a\left( x - \frac{- b +\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x -\frac{- b -\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0,$ $ a(x- x_{1})(x- x_{2})=0,$ gdzie $ x_{1}= \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}, \ \ x_{2}= \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$ Jeżeli $ \Delta =0 $ to z równania (1) $ a\left(x+ \frac{b}{2a}\right)^2 = 0,$ $ a(\left[x- (\frac{-b}{2a})\right]^2 = a\left[x - (\frac{-b}{2a}\right]\left[x - (\frac{-b}{2a})\right] = 0,$ $ a(x - x_{1})(x- x_{1})=0.$ gdzie $ x_{1}= -\frac{b}{2a}.$ W tym przypadku mówimy, że równanie kwadratowe posiada jeden pierwiastek "podwójny". Zauważmy jeszcze, że jeżeli wyróżnik $ \Delta<0$ to równanie (1) jest sumą kwadratów: $ a\left[(x+\frac{b}{2a})^2 +\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]= 0 $ i nie da się przedstawić w postaci iloczynu dwóch dwumianów liniowych. Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych (funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych). Wiadomość była modyfikowana 2016-07-04 22:02:43 przez janusz78

karol1107 postów: 1	2016-07-13 13:38:15 dziekuje za pomoc

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj