logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 5857

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mommaa
postów: 1
2016-09-30 00:15:11

1. Oblicz granicę funkcji f w punkcie x0 I sprawdź czy \lim_{x \to x0} f(x)=f(x0), gdy
a)f(x)=x^2+3x-1/x+5, x0=1
b) f(x)=x^2+2x+2/x^2-2x-3, x0=-1

2. Oblicz
a)\lim_{x \to -1} 3x^2
b) \lim_{x \to -3} 1/x
c)\lim_{x \to -2} x^2-4/x^2+3x
d) \lim_{x \to 2} x^2+3x-1/x+5


tumor
postów: 8070
2016-09-30 07:20:25

Kolejność wykonywania działań polega na tym, że przy Twoim zapisie przykłady to
1.
a) $x^2+3x-\frac{1}{x}+5$
b) $x^2+2x+\frac{2}{x^2}-2x-3$
2.
c) $x^2-\frac{4}{x^2}+3x$
d) $x^2+3x-\frac{1}{x}+5$
i można podejrzewać, że jednak nie tak miały wyglądać. Jeśli nie chcesz komentarza, że jesteś o jedną szkołę za wysoko, naucz się proszę kolejności wykonywania działań i używaj jej w praktyce.

----

1.
a) gdyby przykład wyglądał jednak $\frac{x^2+3x-1}{x+5}$ to granicę (o ile $x_0$ nie jest równe -5) podstawiając $x_0$ za x. Granicą będzie
$\frac{3}{6}$
Ale w praktyce skorzystaliśmy w ten sposób z ciągłości, którą mieliśmy pokazać, to znaczy użyliśmy związku
$\lim_{x \to 1}f(x)=f(x_0)$
pokażmy zatem, że jest prawdziwy
Ustalmy $\epsilon>0$ i niech $\epsilon<0,5$ (dla granicy zawsze możemy ustalić takie górne ograniczenie)
$\frac{(1+\delta)^2+3(1+\delta)-1}{1+\delta+5}=
\frac{1+2\delta+\delta^2+3+3\delta-1}{6+\delta}=\frac{3+5\delta-\delta^2}{6+\delta}=\frac{3}{6}+\frac{4,5\delta-\delta^2}{6+\delta}$
No i zauważamy, że dla dowolnie małego $\epsilon$ mamy
$\frac{3}{6}-\epsilon<\frac{3}{6}+\frac{4,5\delta-\delta^2}{6+\delta}<\frac{3}{6}+\epsilon$
$-\epsilon<\frac{\delta(4,5-\delta)}{6+\delta}<\epsilon$
o ile np prawdą jest, że $| \delta|<\epsilon$

----

Dla obliczenia samej granicy poza przykładem 1 b) wystarczy podstawić $x_0$, ale tam, gdzie to konieczne, musimy przeprowadzić dowód, że granica jest dobrze policzona.

W przykładzie 1 b), jeśli wygląda on tak
$\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x-3}$ to przy podstawieniu $x_0=-1$ dostaniemy
$\frac{1}{0}$ (a przez 0 się nie dzieli)
Gdybyśmy brali liczbę ciut większą od -1, to mianownik byłby ujemny bliski 0 (czyli wartość ułamka duża), gdybyśmy brali liczbę ciut mniejszą od -1, to mianownik byłby dodatni bliski 0 (czyli wartość bezwzględna ułamka duża, ale ułamek z minusem z przodu), wobec czego granica funkcji w punkcie nie istnieje.

Jeśli natomiast 1 b) wygląda tak, jak go piszesz, to wystarczy za x podstawić -1 dla policzenia granicy.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj