logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 5862

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaj
postów: 2
2016-10-03 22:54:51

witam, czy liczbę dodatnią można zapisać za pomocą róznicy kwadratów innych dwoch dowolnych liczb?


tumor
postów: 8070
2016-10-04 08:32:37

Jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, to można dodatnią liczbę rzeczywistą zawsze zapisać jako różnicę kwadratów dwóch różnych od niej liczb rzeczywistych.

Jeśli o liczbach całkowitych, to zauważamy, że sąsiednie kwadraty, np
0,1,4,9,16,25,...
różnią się o kolejne liczby nieparzyste
1,3,5,7,9...
wobec czego każdą nieparzystą można zapisać jako różnicę kwadratów.
Gdy skoczymy o dwa miejsca, różnice są kolejnymi liczbami parzystymi podzielnymi przez 4:
4,8,12,16,...
czyli i takie liczby dadzą się zapisać jako różnice kwadratów.


Jednocześnie jednak
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
i taki iloczyn jak po prawej, jeśli a,b całkowite, nie może być podzielny przez 2 i niepodzielny przez 4, bo dla podzielności przez 2 potrzebujemy, żeby a,b były obie parzyste lub obie nieparzyste, a wówczas i ich suma i różnica będą parzyste, czyli iloczyn podzielny przez 4.

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-04 08:34:16 przez tumor

kasiaj
postów: 2
2016-10-04 09:53:19

dziękuje za odp, czyli sume dwóch róznych liczb dodatnich również da się zapisać za pomocą róznic kwadratów dwóch liczb całkowitych?


tumor
postów: 8070
2016-10-04 10:07:52

"za pomocą" tak, ale niekoniecznie w postaci jednej różnicy.
W postaci jednej różnicy kwadratów można zapisać
- dowolną liczbę nieparzystą
- liczbę parzystą jeśli jest podzielna przez 4

Natomiast dowolna liczba parzysta może być zapisana np. jako suma dwóch różnic kwadratów, np
$14=5+9=(3^2-2^2)+(5^2-4^2)$
Ale nie da się zapisać 14 jako pojedynczej różnicy kwadratów liczb całkowitych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj