Planimetria, zadanie nr 5866

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
nice1233 postów: 147	2016-10-08 16:42:59 W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną ma odcinki, mające długość 16 cm i 30 cm. Oblicz długość przyprostokątnych tego trójkąta.

tumor postów: 8070	2016-10-08 19:14:46 W trójkącie zawsze jest milion równań, które można napisać. Wykażemy sobie pewne twierdzenie. Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym mamy kąt ostry $\alpha$, naprzeciwko niego przyprostokątną a, druga przyprostokątna to b, a przeciwprostokątna c jest podzielona przez dwusieczną d kąta prostego na odcinki $c_a$ i $c_b$ odpowiednio stykające się w wierzchołkach trójkąta z a i b. Wtedy $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{a}{b}$ Z twierdzenia sinusów mamy $\frac{d}{cos\alpha}=\frac{c_a}{sin45^\circ}$ oraz $\frac{d}{sin\alpha}=\frac{c_b}{sin45^\circ}$ stąd $\frac{c_a}{c_b}=\frac{\frac{c_a}{sin45^\circ}}{\frac{c_b}{sin45^\circ}}=\frac{\frac{d}{cos\alpha}}{\frac{d}{sin\alpha}}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{a}{b}$ Stąd dostaliśmy wniosek, że w naszym zadaniu $\frac{a}{b}=\frac{c_a}{c_b}=\frac{16}{30}$ Dokładamy do tego drugie równanie - twierdzenie Pitagorasa.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj