Geometria w układzie kartezjańskim, zadanie nr 5959
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| wersza postów: 2 |  2016-11-27 18:17:131. Punkt A' jest obrazem punktu A w jednokładności o śdorku w punkcie O. Wyznacz skalę k jednokładności, wiedząc że |AA'|=3|AO| 2. Uzasadnij, że obrazem prostej w jednokładności jest prosta do niej równolegla. |
| janusz78 postów: 820 | 2016-11-27 22:08:24 1. $ |AA'| = |OA|+|OA'|$ $ |OA| + |OA'| = 3|OA|,$ $ |OA'| = 2|OA|$ Skala jednokładności wynosi$ |s| = 2, $ czyli $ s = -2, $ lub $ s = 2.$ 2. Sposób pierwszy Musimy pokazać, że - obrazem dowolnego punktu $ X $ należącego do prostej $AB $jest punkt $ X' = J_{O}^{s}(X) $ należący do prostej $A'B'.$ - każdy punkt prostej $A'B'$ jest obrazem w tej jednokładności pewnego punktu prostej $AB.$ Przyjmijmy, że punkt $X $ należy do prostej $AB. $ Wektor $ \vec{AX} $ jest iloczynem wektora $ \vec{AB}$ przez pewną liczbę rzeczywistą $ t $. Stąd wynika, że $ \vec{A'X'} = s\vec{AX} = s(t\vec{AB})= t(s\vec{AB})= t\vec{A'B'}.$ To oznacza, że punkt $ X' $ należy do prostej $A'B'.$ Jeżeli $X' $ należy do prostej $A'B'$, czyli spełnia warunek $\vec{A'X'} = t\vec{A'B'},$ to punkt $ X $ spełnia warunek $ \vec{AX} = t\vec{AB},$ czyli należy do prostej $AB.$. Proste $ AB, \ \ A'B' $ są więc równoległe. Sposób drugi Przyjmijmy, że punkt $ O(0,0)$ jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, a prosta ma równanie $ y = mx + n, \ \ m,n \in R.$ (1) Obrazem punktu $ X=(x,y) $w jednokładności $J_{O}^{s}$ jest punkt $X'=(x',y') $ taki, że $X'= (sx, sy).$ Możemy więc napisać $ \left\{ \begin{matrix} x'=sx, \\ y' = sy, \end{matrix}\right.$ $\left\{ \begin{matrix}x= \frac{1}{s} x,' \\ y = \frac{1}{s} y.' \end{matrix}\right.$ Obrazem prostej (1) jest figura o równaniu $\frac{1}{s}y' = m\cdot \frac{1}{s} x' + b $ czyli $y' = mx' +sb $ Równanie to możemy zapisać jako $ y = mx +sb. $ Jest to równanie prostej równoległej do prostej (1) (bo proste mają ten sam współczynnik kierunkowy $m).$ Przyjmijmy teraz, że prosta $ AB $ ma równanie $ x = c $ dla pewnego $ c\in R. $ Wtedy obrazem jej jest figura o równaniu $ \frac{1}{s}x' = c, \ \ x' = sc,$ którą zapisujemy $x = sc.$ Figura ta przedstawia prostą równoległą do prostej o równaniu $ x = c,$ czyli prostej $ AB. $ Wiadomość była modyfikowana 2016-11-27 22:13:31 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj