logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Funkcje, zadanie nr 5980

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

max1233
postów: 14
2016-12-19 01:25:14

Wyznacz zbiór wartości funkcji jeśli


a) $f(x)=\frac{-5x-5}{\sqrt{x^{2}+2x+10}}$

Jak robić takie zadania, jak wykres zrobić, jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji ? Czy da się jakiś prosty sposób wyznaczać zbiór wartości funkcji. ?

Z tego wynika że Dziedzina funkcji wszystkie rzeczywiste oprócz 5, tyle sam wywnioskowałem i co dalej ?

b) $f(x)=\frac4{sgn(x-1)}$

Tego w ogóle nie rozkminam

Jakby ktoś mógł to w przejrzysty sposób wytłumaczyć, był bym wdzięczny. Dzięki z góry. Pozdrawiam


tumor
postów: 8070
2016-12-19 09:17:17

a) Ja nie wywnioskowałem, że rzeczywiste oprócz 5. Masz pewność, że umiesz zrobić dziedzinę?

Załóżmy, że liczba a jest wartością funkcji.

$a=\frac{-5x-5}{\sqrt{x^2+2x+10}}$

$a\sqrt{x^2+2x+10}=-5x-5$
$a^2(x^2+2x+10)=25(x^2+2x+1)$
$x^2(a^2-25)+x(2a^2-50)+10a^2-25=0$

Wystarczy się zastanowić, dla jakiego a powyższe równanie ma rozwiązanie.

jeśli $a=\pm 5$ to równanie nie ma rozwiązania. Dla pozostałych a jest to równanie kwadratowe.

$0\le \Delta = (2a^2-50)^2-4(a^2-25)(10a^2-25)=
4(a^4-50a^2+625-10a^4+275a^2-625)=4(-9a^4+225a^2)=-36a^2(a^2-25)$
zatem musi być $a^2-25\le 0$
czyli $a^2\le 25$
$-5 \le a \le 5$
ale wykluczamy $\pm 5$, czyli
$-5<a<5$
taki jest nasz zbiór wartości.


W powyższym sprawdziliśmy, dla jakich a ma rozwiązanie równanie f(x)=a, czyli jakie a są wartościami funkcji f.

--

W tym konkretnym przypadku możemy rozważyć, co się stanie po podniesieniu licznika i mianownika do kwadratu:

$(f(x))^2=\frac{25(x^2+2x+1}{x^2+2x+10}=
25(1-\frac{9}{x^2+2x+10})$

To już łatwo zauważyć, że najmniejszą wartością trójmianu kwadratowego w mianowniku jest liczba 9, czyli największą wartością ułamka $\frac{9}{x^2+2x+10}$ jest 1 (najmniejszej wartości nie ma, ale wartości mogą być dowolnie bliskie 0).

Wobec tego $f^2$ przyjmuje wartości z przedziału [0,25).

Trzeba niestety wiedzieć, że jest to funkcja ciągła i policzyć granice f w $\pm \infty$, co niekoniecznie już przerabialiście, wówczas dostaniemy zbiór wartości jak wcześniej.

---

Można skorzystać z granic i monotoniczności, ale to również może wymagać rachunków, których nie mieliście w szkole. Rozwiązanie pierwsze nie wymaga żadnej wiedzy poza zdolnością rozwiązywania równań kwadratowych.

---------

b) funkcja sgn(x) zwraca "znak" argumentu x, czyli 1 dla liczb dodatnich, -1 dla ujemnych, 0 dla 0.
W tym przykładzie dziedzina to $R\backslash \{1\}$, bo przez 0 dzielić nie możemy.
Mianownik może być tylko 1 lub -1, wobec tego policzenie, jaka jest wartość całego ułamka, nie powinno stanowić trudności.


nice1233
postów: 147
2016-12-19 09:27:46

z tą dziedziną to popełniłem gafę ....

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj