Funkcje, zadanie nr 5980
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
max1233 postów: 14 | 2016-12-19 01:25:14 Wyznacz zbiór wartości funkcji jeśli a) $f(x)=\frac{-5x-5}{\sqrt{x^{2}+2x+10}}$ Jak robić takie zadania, jak wykres zrobić, jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji ? Czy da się jakiś prosty sposób wyznaczać zbiór wartości funkcji. ? Z tego wynika że Dziedzina funkcji wszystkie rzeczywiste oprócz 5, tyle sam wywnioskowałem i co dalej ? b) $f(x)=\frac4{sgn(x-1)}$ Tego w ogóle nie rozkminam Jakby ktoś mógł to w przejrzysty sposób wytłumaczyć, był bym wdzięczny. Dzięki z góry. Pozdrawiam |
tumor postów: 8070 | 2016-12-19 09:17:17 a) Ja nie wywnioskowałem, że rzeczywiste oprócz 5. Masz pewność, że umiesz zrobić dziedzinę? Załóżmy, że liczba a jest wartością funkcji. $a=\frac{-5x-5}{\sqrt{x^2+2x+10}}$ $a\sqrt{x^2+2x+10}=-5x-5$ $a^2(x^2+2x+10)=25(x^2+2x+1)$ $x^2(a^2-25)+x(2a^2-50)+10a^2-25=0$ Wystarczy się zastanowić, dla jakiego a powyższe równanie ma rozwiązanie. jeśli $a=\pm 5$ to równanie nie ma rozwiązania. Dla pozostałych a jest to równanie kwadratowe. $0\le \Delta = (2a^2-50)^2-4(a^2-25)(10a^2-25)= 4(a^4-50a^2+625-10a^4+275a^2-625)=4(-9a^4+225a^2)=-36a^2(a^2-25)$ zatem musi być $a^2-25\le 0$ czyli $a^2\le 25$ $-5 \le a \le 5$ ale wykluczamy $\pm 5$, czyli $-5<a<5$ taki jest nasz zbiór wartości. W powyższym sprawdziliśmy, dla jakich a ma rozwiązanie równanie f(x)=a, czyli jakie a są wartościami funkcji f. -- W tym konkretnym przypadku możemy rozważyć, co się stanie po podniesieniu licznika i mianownika do kwadratu: $(f(x))^2=\frac{25(x^2+2x+1}{x^2+2x+10}= 25(1-\frac{9}{x^2+2x+10})$ To już łatwo zauważyć, że najmniejszą wartością trójmianu kwadratowego w mianowniku jest liczba 9, czyli największą wartością ułamka $\frac{9}{x^2+2x+10}$ jest 1 (najmniejszej wartości nie ma, ale wartości mogą być dowolnie bliskie 0). Wobec tego $f^2$ przyjmuje wartości z przedziału [0,25). Trzeba niestety wiedzieć, że jest to funkcja ciągła i policzyć granice f w $\pm \infty$, co niekoniecznie już przerabialiście, wówczas dostaniemy zbiór wartości jak wcześniej. --- Można skorzystać z granic i monotoniczności, ale to również może wymagać rachunków, których nie mieliście w szkole. Rozwiązanie pierwsze nie wymaga żadnej wiedzy poza zdolnością rozwiązywania równań kwadratowych. --------- b) funkcja sgn(x) zwraca "znak" argumentu x, czyli 1 dla liczb dodatnich, -1 dla ujemnych, 0 dla 0. W tym przykładzie dziedzina to $R\backslash \{1\}$, bo przez 0 dzielić nie możemy. Mianownik może być tylko 1 lub -1, wobec tego policzenie, jaka jest wartość całego ułamka, nie powinno stanowić trudności. |
nice1233 postów: 147 | 2016-12-19 09:27:46 z tą dziedziną to popełniłem gafę .... |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj