Funkcje, zadanie nr 6261

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
niepokonana postów: 16	2019-09-01 18:39:53 Funkcja kwadratowa zastosowania. "13. Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości 4. Na bokach tego trójkąta obrano punkty D, E, F, takie że punkt D jest środkiem przeciwprostokątnej, a odcinek EF jest do niej równoległy. Jakie jest największe możliwe pole trójkąta DEF?"

chiacynt postów: 749	2019-09-01 19:30:55 Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość $ a $ równych przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równoramiennego. $a^2 +a^2 = 4^2$ $ 2a^2 = 16$ $ a^2 = 8 $ $ a = \sqrt{8}= 2\sqrt{2}.$ Oznaczamy długości przyprostokątnych trójkąta $ DEF $ odpowiednio $ \|DE\| = x, \ \ \|DF\| = y.$ Pole trójkąta $ DEF $ $ P(x,y) = \frac{1}{2}x\cdot y \ \ (1)$ Z cechy podobieństwa "kąt- kąt- kąt" trójkątów prostokątnych wynika proporcja: $ \frac{y}{2\sqrt{2} -x} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1,$ z której $ y = 2\sqrt{2} - x \ \ (2) $ Podstawiamy $ (2) $ do $ (1) $ i otrzymujemy funkcję kwadratową pola trójkąta $ DEF $ zależną tylko od jednej zmiennej $ x>0 $ $ P(x) = \frac{1}{2} x\cdot (2\sqrt{2}- x) = -\frac{1}{2}x^2 +\sqrt{2}x.$ Dziedziną tej funkcji jest przedział $ (0, 2\sqrt{2}) $ $ x_{w} = \frac{\sqrt{2}}{2\cdot \frac{1}{2}}= \sqrt{2}$ (środek przedziału dziedziny). Wartość największą pola trójkąta $ DEF $ jest $ P_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = 1. $

niepokonana postów: 16	2019-09-01 20:37:02 Nie wiem, skąd wziąłeś tę proporcję, ale ok, dzięki. Wolałabym tak bardziej krok po kroku bez przeskakiwania do gotowej proporcji. Wiadomość była modyfikowana 2019-09-01 20:39:18 przez niepokonana

chiacynt postów: 749	2019-09-01 20:50:41 Wykonaj rysunek. Weź pod uwagę trójkąt wpisany, prostokątny, dolny w prawym rogu i trójkąt prostokątny duży. Co powiesz o kątach tych trójkątów. Są takie same, więc stosunek (iloraz) długości ich przyprostokątnych jest taki sam.

chiacynt postów: 749	2019-09-01 21:50:03 Zauważmy, że trójkąt prostokątny "duży" o polu $ P_{d} = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}= 4 $ został podzielony na cztery trójkąty prostokątne przystające o maksymalnych polach równych $ 1.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj