Równania i nierówności, zadanie nr 6283
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kacyper03 postów: 10 |  2019-11-10 00:04:28|4-x|=|x+3| |4-x|=x+3 v |4-x|=-x-3 4-x=-x-3 v 4-x=x+3 x=1/2 |4-x|=-x-3 x=zbiór pusty Tylko, że (|4-x|=-x-3)=(|4-x|=|3+x|) Czy ktoś mógłby mi pomóc wskazać mi mój błąd? Wiadomość była modyfikowana 2019-11-10 09:13:09 przez kacyper03 |
| chiacynt postów: 749 | 2019-11-10 17:41:58 $ |4- x| = |x+3| \ \ (1) $ Niech $ x $ będzie dokładnie jedną ustaloną liczbą rzeczywistą, która spełnia równanie $(1). $ Ale jaka to liczba tego nie wiemy. Z równości prawdziwej, otrzymujemy dalsze równości prawdziwe $ |4-x|^2 = |x+3|^2 $ $ 16 -8x +x^2 = x^2 +6x +9 $ $ 14x = 7 $ $ x = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}. $ A stąd otrzymujemy, że prawdziwa jest równość $ x = \frac{1}{2}. $ Liczba $ x = 2 $ jest rozwiązaniem równania $(1).$ |
| kacyper03 postów: 10 | 2019-11-10 18:43:18 Jednakże po podstawieniu 1/2 pod x w |4-x|=-x-3 zachodzi sprzeczność, co jest dla mnie trochę dziwne ponieważ |4-x|=|x+3| ma takie same dwa rozwiązania co |4-x|=-x-3 czyli 4-x=-x-3 v 4-x=x+3 więc w teorii powinna zachodzić równość z własności wartości bezwzględnej, że (|4-x|=-x-3)=(|4-x|=|x+3|). Jednak taka równość nie zachodzi |4-x|=-x-3 traktuję jako oddzielne niezależne równanie |
| chiacynt postów: 749 | 2019-11-10 20:42:20 Nie potrafisz rozwiązywać równań z podwójną wartością bezwzględną, bo stosujesz sposób rozwiązania z pojedynczą wartością bezwzględną, tak jakby po drugiej stronie równania występowała liczba, a nie wartość bezwzględna. Drugi sposób - z definicji wartości bezwzględnej $ |4 - x| = |x +3| $ $ |4 - x| - |x+3| = 0 \ \ (1) $ $ |4 -x|=\begin{cases} 4 - x \ \ \mbox{gdy}\ \ 4 -x \geq 0 \ \ (x\leq 4) \\ -4 + x \ \ \mbox{gdy} \ \ 4 - x <0 \ \ (x>4) \end{cases}$ $ |x+3|=\begin{cases} x+3 \ \ \mbox{gdy}\ \ x+3 \geq 0 \ \ (x\geq -3) \\ -x - 3 \ \ \mbox{gdy} \ \ x+ 3 <0 \ \ (x<-3) \end{cases}$ Definicje tych wartości bezwzględnych podzieliły nam oś liczbową $ Ox $ na przedziały: $ I. \ \ -\infty < x <-3 $ $ II. \ \ -3 \leq x \leq 4 $ $ III. \ \ 4 < x < +\infty $ Znajdujemy rozwiązania równania $ (1) $ w każdym z przedziałów I. II. III. $ I. 4 -x -x -3 = 0 $ $ -2x +1 = 0, \ \ -2x = -1, \ \ x = \frac{1}{2}$ $ II. 4 -x + x +3 = 0,$ $ 7 = 0 $ - równanie sprzeczne. $ III. -4 + x + x +3 = 0, $ $ 2x -1 = 0, \ \ 2x = 1, \ \ x = \frac{1}{2}\notin III.$ Jedynym rozwiązaniem równania $ (1) $ jest liczba $ x =\frac{1}{2}.$ Zauważmy, że ta metoda jest znacznie dłuższa od metody pierwszej, którą podałem w pierwszym rozwiązaniu i wymaga większego skupienia. Wiadomość była modyfikowana 2019-11-10 21:45:25 przez chiacynt |
| kacyper03 postów: 10 | 2019-11-10 21:08:37 Oczywiście. Metody te znam i w zupełności zgadzam się z tym, że wynikiem |4-x|=|x+3| jest tylko x=1/2. Kłopot mam z tym, że, z własności funkcji bezwzględnych wynika, że (|4-x|=|x+3|)=(|4-x|=-x-3) mimo , że wynikiem tego pierwszego jest 1/2, a x w drugim równaniu jest zbiorem pustym. |
| chiacynt postów: 749 | 2019-11-10 21:17:24 Takie własności wcale nie wynikają, jest to zależne od znaku wyrażenia liczby) występującego (występującej) pod znakiem modułu. |
| kacyper03 postów: 10 | 2019-11-10 21:37:41 Rozumiem. Myślałem, że jeśli rozwiązaniami |4-x|=|x+3| są 4-x=-x-3 (0=7 czyli sprzeczność) v 4-x=x+3 (x=1/2) oraz rozwiązaniami |4-x|=-x-3 są 4-x=-x-3 (0=7 czyli sprzeczność) v 4-x=x+3 (x=1/2 czyli w tym przypadku sprzeczność bo wartość bezwzględna po podstawieniu = -3,5) To (|4-x|=|x+3|)=(|4-x|=-x-3). Po prosty zbiory rozwiązań mi się nie zgadzały. Dziękuję za pomoc |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj